一切都基于拉格朗日量（Lagrangian）和广义坐标(Configuration Coordinates)。我以比 Wikipedia 更容易理解的方式说明拉格朗日力学的基本思想。

广义坐标

广义坐标是在完整约束下，完整描述系统状态的任意一组独立的量组成的坐标。

1. 什么叫完整约束下，完整描述？
   
   例如上图所示的双摆，如果不考虑任何约束，系统的自由度等于6（因为有两个小球，一个小球的自由度是3），需要6个独立的量描述整个系统。如果将这个双摆约束在一个平面，那么有两条约束了，一是小球1在平面内，二是小球2在平面内，自由度为4。但目前的约束还不完整，因为没有考虑双摆中必然出现的约束——连接小球的绳长固定。如果考虑了这一点，就新增了两条约束，分别来自图中的 $L_1$ 和 $L_2$，自由度减 2，等于2，这时约束才完整。根据广义坐标的定义，用 $({\theta }_1,{\theta }_2)$ 作为广义坐标，描述双摆系统，因为这两个量相互独立，在完整约束下用最少的元素描述了整个双摆系统。
2. 什么叫任意一组？
   例如描述物体的位置，可以用笛卡尔坐标 $(x,y,z)$ 或极坐标 $(\rho ,\theta )$，取里面任意一种表示方法即可。

刚才给出的例子中，$\theta$ 的量纲并不是长度，由此可见，广义坐标的元素的量纲不一定都是长度，但在拉格朗日力学的分析过程中，可以当成长度来理解，广义就广义在这里。例如角速度、角动量、力矩、转动惯量等概念（假设你学过大学物理），就是将角度当作位移来看待，因此角速度对应速度，角动量对应动量，力矩对应力，转动惯量对应质量。将$n$维广义坐标记为$(q_1,q_2,...,q_n)$，则定义广义速度：
$$\dot{q_s}=\frac{d{q}_s}{dt}$$
其中 $s$ 是下标，表示广义坐标的第 $s$ 个元素。因为广义坐标的元素相互独立，所以是 $d$ 而不是 $\partial$。同理，广义加速度 ：
$$\ddot{q_s}=\frac{d^2{q}_s}{d{t}^2}$$

拉格朗日量

定义拉格朗日量，有时也称拉格朗日函数（不是在等式约束下求函数极值的那个拉格朗日函数，两者同名，但描述的对象完全不同）：
$$L=T-V$$

其中 $T$ 是系统总动能（kinetic energy），$V$ 是总势能（potential energy ）。引入了拉格朗日量后，可以继续定义广义动量 ：
$$p_s=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_s}}$$

因为动量
$$p=mv=\frac{d}{dv}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=\frac{d{E}_k}{dv}$$

势能与速度无关：
$$\frac{d{E}_p}{dv}=0$$

所以：
$$p_s=\frac{\partial E_k}{\partial \dot{q_s}}=\frac{\partial E_k}{\partial \dot{q_s}}-\frac{\partial E_p}{\partial \dot{q_s}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_s}}$$

定义广义力：
$$\begin{array}{rl}{F}_s& =\frac{\partial L}{\partial q_s}\\ & =\frac{d{p}_s}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_s}}\right)\end{array}$$

因为 $F=-\frac{d{E}_p}{dl}$，$\frac{d{E}_k}{dl}=0$，$F=ma=\frac{d(mv)}{dt}=\frac{dp}{dt}$，所以
$$\begin{array}{rl}{F}_s& =-\frac{\partial E_p}{\partial q_s}=\frac{\partial E_k}{\partial q_s}-\frac{\partial E_p}{\partial q_s}=\frac{\partial L}{\partial q_s}\\ & =\frac{d{p}_s}{dt}\end{array}$$

欧拉-拉格朗日方程

从广义力的定义式得出
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_s}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_s}$$

这就是欧拉-拉格朗日方程（Euler–Lagrange equations），两边都等于广义力。对 $n$ 维广义坐标的每个元素都列出这样的方程，就组成了包含 $n$ 个未知数（$q_s$）和 $n$ 个方程的方程组，可以求解，得到每时每刻系统的状态！这就是拉格朗日力学的基本思想。

示例：单摆

假设你学过高中物理。假设这个小球的运动只限制在一个平面内，则系统的自由度仅为1，用 $\theta$ 这一个量作为广义坐标。系统动能等于小球动能
$$T=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\left(l\omega \right)}^2=\frac{1}{2}m{\left(l\dot{\theta }\right)}^2=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2$$

系统势能等于小球重力势能（取图中天花板所在平面为零重力势能面）：
$$V=-mgl\cos \theta$$

则拉格朗日量
$$L=T-V=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2+mgl\cos \theta$$

根据欧拉-拉格朗日方程
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{\theta }}\right)& =\frac{dL}{d\theta }\\ m{l}^2\ddot{\theta }& =-mgl\sin \theta \\ l\ddot{\theta }+g\sin \theta & =0\end{array}$$

$l\ddot{\theta }+g\sin \theta =0$ 并不容易解出，但如果 $\theta$ 很小，认为 $\sin \theta \approx \theta$，则有 $l\ddot{\theta }+g\theta =0$，通过 Laplace 变换即可解出，$\theta$ 是一个关于时间 $t$ 正弦函数，小球做简谐运动。

总结

拉格朗日量
$$L=T-V$$
欧拉-拉格朗日方程，两边都表示广义力：
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_s}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_s}$$