微分方程、差分方程与指数映射

（$e^{i\theta }$、$e^{At}$ 的统一视角）

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一、指数函数的基础定义

1. 实数域上的经典定义

对实数 $x\in \mathbb{R}$，指数函数定义为极限：

$$e^x=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$$

该定义刻画了连续复利增长的极限行为。

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2. 幂级数定义（核心）

基于泰勒展开，对任意 $x\in \mathbb{R}$：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

• 收敛半径：$\infty$
• 在整个实数轴上绝对收敛、一致收敛

关键点：
当变量从实数推广到 复数 或 矩阵 时，
不再使用极限定义，而是直接采用幂级数作为严格定义。

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二、指数函数的推广：复数与矩阵

1. 复指数 $e^{i\theta }$

对 $\theta \in \mathbb{R}$，定义：

$$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(i\theta {)}^n}{n!}$$

展开并分组实部与虚部：

$$e^{i\theta }=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots \right)$$

由此得到 欧拉公式：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

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2. 矩阵指数 $e^{At}$

设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，$t\in \mathbb{R}$，定义：

$$e^{At}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(At{)}^k}{k!}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2!}+\frac{(At{)}^3}{3!}+\cdots$$

其中 $I$ 为 $n\times n$ 单位矩阵。

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三、微分方程示例

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$

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1. 几何解释

• $u_1,u_2$ 视为平面坐标
• 左端表示状态随时间的变化率（速度场）
• 右端表示速度向量逆时针旋转 $90^{\circ }$

解为绕原点匀速旋转：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ u_2(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1(0)\\ u_2(0)\end{array}\right]$$

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2. 特征值 / 特征向量解法

（1）求特征值

$$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}-\lambda & -1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]={\lambda }^2+1=0$$

$${\lambda }_{1,2}=\pm i$$

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（2）求特征向量

对 $\lambda =i$：

$$(A-iI)v=0\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}-i& -1\\ 1& -i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=0$$

解得 $v_2=-i{v}_1$，取 $v_1=1$：

$$v=\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$$

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（3）复值通解

$$\mathbf{u}(t)=c_1{e}^{it}\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]+c_2{e}^{-it}\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]$$

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（4）化为实值解

利用欧拉公式展开并合并实部与虚部，令系数为实数，得：

$$\{\begin{array}{l}{u}_1(t)=C_1\cos t+C_2\sin t\\ u_2(t)=-C_1\sin t+C_2\cos t\end{array}$$

其中 $C_1,C_2\in \mathbb{R}$ 由初值决定。

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3. 矩阵指数解法

对标量方程 $\dot{x}=rx\Rightarrow x(t)=e^{rt}x(0)$，
高维情形直接推广为：

$$\mathbf{u}(t)=e^{At}\mathbf{u}(0)$$

对本例：
$$e^{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]t}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k}{k!}{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]}^k$$

利用幂次周期性可得：

$$e^{\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]t}=\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right]$$

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四、差分方程示例

$$\left[\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ x_{n-1}\end{array}\right]$$

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1. 几何观察

• 状态点在相平面中呈离散旋转
• 系统表现为 周期为 6 的振荡

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2. 特征值 / 特征向量解法

（1）特征值

$$\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]={\lambda }^2-\lambda +1=0$$

$$\lambda =\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=e^{\pm i\pi /3}$$

• 模长：$|\lambda |=1$
• 幅角：$\theta =\frac{\pi }{3}$

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（2）特征向量

对 ${\lambda }_1=e^{i\pi /3}$：

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1-i\sqrt{3}\end{array}\right]$$

对 ${\lambda }_2=e^{-i\pi /3}$：

$${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1+i\sqrt{3}\end{array}\right]$$

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（3）复值通解

$${\mathbf{x}}_n=c_1{\lambda }_1^n{\mathbf{v}}_1+c_2{\lambda }_2^n{\mathbf{v}}_2$$

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（4）实值解

取 $c_2=\overline{c_1}$，设 $c_1=\alpha +i\beta$，得实解：

$${\mathbf{x}}_n=2\alpha \left[\begin{array}{c}\cos (n\pi /3)\\ \cos (n\pi /3)+\sqrt{3}\sin (n\pi /3)\end{array}\right]+2\beta \left[\begin{array}{c}-\sin (n\pi /3)\\ -\sin (n\pi /3)+\sqrt{3}\cos (n\pi /3)\end{array}\right]$$

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五、统一总结

情形	解的形式
标量 ODE	$x(t)=e^{rt}x(0)$
线性 ODE	$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$
差分方程	${\mathbf{x}}_n=A^n{\mathbf{x}}_0$
复指数	$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

核心思想：
幂级数定义使得指数映射在
实数 → 复数 → 矩阵
之间保持一致。

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