复数乘法的几何意义

实数轴上的数字如果乘以-1，那它就会关于原点对称，如果将其看作向量，那就相当于这个向量翻转了180°，而复数i^{2}=-1。从几何上看，也就是说只要乘以一次i，向量就可以旋转90°，乘以两次（即i^{2}），向量就可以旋转180°，至此，虚数不再是虚无缥缈的数字，而是在复平面内拥有明确的几何意义。

在传统的实数坐标系中，乘法通常意味着“缩放”。但在复平面，乘法的几何意义变得更加丰富：复数乘法本质上是对向量的“旋转”和“伸缩”。假设复数z_{1}=a_{1}+b_{1}j，它在复平面上对应一个从原点出发的向量。当我们用一个特殊的复数去乘它时：

  • 乘以实数（正实数）：向量只发生长度上的伸缩，方向不变。
  • 乘以虚数单位i：由上述介绍可知，任何复数乘以i，其结果相当于将该复数对应的向量逆时针旋转90°。
  • 乘以另一个复数：z_{1}=a_{1}+b_{1}j,z_{2}=a_{2}+b_{2}j，则z_{1}\cdot z_{2}在几何意义上是指模相乘而幅角相加。模长相乘的过程证明过程可以将(a_{1}+b_{1}j)(a_{2}+b_{2}j)拆开证明；幅角相加的过程可以将z_{1},z_{2}写成z_{1}=r_{1}(cos\theta _{1}+jsin\theta _{1}),z_{2}=r_{2}(cos\theta _{2}+jsin\theta _{2})（复数的几何意义，r_{1},r_{2}代表各自的模长）形式，然后拆开使用和角公式证明。（具体证明过程这里不再演示）

在复平面上，乘以i是一个旋转算子，它表示将任意向量逆时针旋转 90°。乘以i^{1}表示旋转90°，乘以i^{2}表示旋转180°，乘以i^{n}表示旋转n\times 90°；乘以i^{0.5}表示旋转45°。所以推广到任意旋转角度，旋转\theta度，等价于乘以i^{\frac{\theta }{90^{\circ}}}。

根据i^{2}表示旋转旋转180度，i表示旋转90度的思路，若要旋转45度（即 90°的一半），自然需要乘以一个数z，使得两次作用z的效果等于一次作用i，即：

z^{2}=i

从代数方程角度求解z（即i^{0.5}），设z=a+bi，满足z^{2}=i：

(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi=i

将等式两边实部和虚部分别对应，得到方程组：

\left\{\begin{matrix} a^{2}-b^{2}=0\\ 2ab=1\\ \end{matrix}\right.

由第一个方程解得a=b\, \, or\, \, a=-b，代入第二个方程得

z=\pm (\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2})

其主值\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}恰好是将向量逆时针旋转 45°的因子（-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}表示旋转225°）。

所以i^{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}表示将向量逆时针旋转45°。

在复平面上，旋转是一种线性变换，且满足若旋转\theta _{1}度对应复数z_{1}，旋转\theta _{2}度对应复数z_{1}​，则连续旋转\theta _{1}+\theta _{2}​度等价于乘以z_{1}\cdot z_{2}（旋转算子的复合对应复数乘法）。利用这个结论我们就可以推导出任意旋转角度，旋转\theta度，等价于乘以i^{\frac{\theta }{90^{\circ}}}。例如旋转20°，而旋转20°的9次复合等于旋转180°，即

z^{9}=i^{2}

所以

z=i^{\frac{2}{9}}

所以旋转90°等价于乘以i^{\frac{2}{9}}。

欧拉公式的证明

代数角度

麦克劳林级数是函数在x=0处的泰勒展开，其形式为\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}。根据麦克劳林展开得

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}

cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}

sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+ 1}}{(2n+1)!}

将指数函数e^{x}推广到复数域

e^{i\theta }=1+(i\theta)+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+\frac{(i\theta)^{4}}{4!}+\frac{(i\theta)^{5}}{5!}+\cdots =1+i\theta+\frac{i^{2}\theta ^{2}}{2!}+\frac{i^{3}\theta ^{3}}{3!}+\frac{i^{4}\theta ^{4}}{4!}+\frac{i^{5}\theta ^{5}}{5!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(i\theta )^{2}}{n!}

将上述级数按“不含i的项（实部）”和“含i的项（虚部）”拆分：

Re(e^{i\theta })=1+\frac{i^{2}\theta ^{2}}{2!}+\frac{i^{4}\theta ^{4}}{4!}+\frac{i^{6}\theta ^{6}}{6!}+\cdots=1-\frac{\theta ^{2}}{2!}+\frac{\theta ^{4}}{4!}-\frac{\theta ^{6}}{6!}+\cdots

Im(e^{i\theta })=i\theta +\frac{i^{3}\theta ^{3}}{3!}+\frac{i^{5}\theta ^{5}}{5!}+\frac{i^{7}\theta ^{7}}{7!}+\cdots =i(\theta -\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{5}}{5!}-\cdots )

对比余弦和正弦的泰勒级数，实部正是cos\theta的展开式，虚部正是sin\theta的展开式，所以

e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta

几何角度

欧拉公式是复数乘法的内在属性，复数z_{1}=a_{1}+ib_{1},z_{2}=a_{2}+ib_{2}相乘在几何上意义上是幅角相加、模长相乘。而在复平面上的单位圆上，所有复数都可以表示为cos\theta +isin\theta，所以乘以一次cos\theta +isin\theta就是幅角相加则表示旋转\theta；乘以两次，即(cos\theta +isin\theta)^{2}就旋转2\theta；乘以n次，即(cos\theta +isin\theta)^{n}就旋转n\theta。

接下来我们构造一个无限小的角度\frac{\theta }{n},n\rightarrow \infty，现在我们让它每次旋转\frac{\theta }{n}，然后无限旋转下去，即

lim_{n\rightarrow \infty }(cos\frac{\theta }{n}+isin\frac{\theta }{n})^{n}

当n\rightarrow \infty时，\frac{\theta }{n}\rightarrow 0，所以cos\frac{\theta }{n}\rightarrow 1 。又因为lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1，即x趋近于0时sinx=x，所以sin\frac{\theta }{n}=\frac{\theta }{n}，所以上式变成

lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{i\theta }{n})^{n}

而自然常数e定义为e=lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}。令\theta =\frac{n}{ik}，所以n=i\theta k，则

lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{i\theta }{n})^{n}=lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{k})^{ik\theta }=lim_{n\rightarrow \infty }[(1+\frac{1}{k})^{k}]^{i\theta }=e^{i\theta }

我们是在单位圆上以极小角度进行连续旋转得到的这个指数形式，也就是说该式子的所有具体值t正好构成了复平面上的单位圆，而复平面单位圆上任意一点都可以表示为cos\theta +isin\theta，于是就得到了欧拉公式

e^{it}=cos(t)+isin(t)

从圆周运动的角度理解e^{it}所代表的几何意义，我们将它求导可以得到

f'(t)=(e^{it})'=ie^{it}=if(t)

在复平面上乘以i意味着逆时针旋转90°。所以上面的公式翻译一下就是e^{it}这个函数的性质描述了一个二维向量的运动过程，这个运动在初始时t=0位于复平面(1,0)位置，之后每一时刻它位置f(t)的导数f'(t)（也就是运动速度）都等于位置向量乘以i，也就是说，它的速度永远垂直于和原点的连线，速度时时刻刻垂直于和定点连线的运动就是圆周运动。在这个圆周运动中e^{it}中的t就是运动了长度为t的圆弧，因为\theta (rad)=\frac{s}{r}（弧度=弧长/半径），半径为1，所以弧度\theta =t，e^{it}=cos(t)+isin(t)本质上就是把弧度为t时对应在这个圆周上的点的横纵坐标表示出来。

指数e的定义

e来自17世纪复利率计算的极限问题：假设你有本金P=1块钱，银行给年化利率r=100%，存t=1年，如果按单利算（利息不生息），1年后你只能拿1+1=2块；但复利的逻辑是利滚利，如果把1年拆成n个计息周期，每个周期的利率就是总利率除以n（即每个周期利率\frac{1}{n}），1年总共计n次息，期末总额公式是：

A_{n}=P\cdot (1+\frac{r}{n})^{n\cdot t}

代入P=1,r=1,t=1，化简为

A_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}

当时数学家雅各布·伯努利想的是：能不能让利息每时每刻都生息？也就是n趋近于无穷大，这时候公式会变成啥？会不会趋近于无穷？

但是经过计算，当n=365时，A_{365}\approx 2.7169；当n=1000000，A_{1000000}\approx 2.78280。随着n变大，结果不会无限涨，反而会收敛到一个固定的无理数2.7182818284…，这个数就是后来欧拉命名的自然常数e

所以e定义为

e=lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}\approx 2.71828

e就是你1块钱、100%年化利率，按每一瞬间都利滚利的理想连续复利，1年后能拿到的最大倍数，它回答了自生增长（增量和当前规模成正比）是有极限的，极限就是e。

复利的本质是变量的增长率和变量本身的规模成正比，写成微分方程就是：

\frac{dy}{dt}=k\cdot y

这个方程的通解是y=P\cdot e^{kt}。e的特殊之处在于，它是唯一满足导数等于自己本身的函数的底数

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}e^{x}=e^{x}

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