《数值分析》期末试卷 (精选01)

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一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）

1. 为了提高数值计算精度，当正数 $x$ 充分大时，应将 $\ln (x-\sqrt{x^2-1})$ 改写为 ______

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答案： $-\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

详细解析：
当 $x$ 充分大时，$x$ 与 $\sqrt{x^2-1}$ 是两个非常接近的大数，直接相减会产生相近数相减导致的有效数字严重丢失。
利用分子有理化技巧：

$$x-\sqrt{x^2-1}=\frac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{x^2-(x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$$

代入原式：

$$\ln (x-\sqrt{x^2-1})=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)=-\ln (x+\sqrt{x^2-1})$$

这样改写后，运算变为了加法和求对数，避免了精度损失。

难度： ⭐
考点： #数值稳定性 #相近数相减
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📖 核心原则： 在数值计算中，应尽量避免两个相近的数相减。常见的处理方法包括分子有理化、三角公式变换或使用泰勒展开。
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当 $x$ 很小时，如何改写 $\frac{1-\cos x}{x^2}$ 以提高精度？
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答案： $\frac{2{\sin }^2(x/2)}{x^2}$。利用二倍角公式避免了 $1-\cos x$ 的精度损失。
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2. 已知 $f(x_2,x_3)=\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=\frac{6-1}{4-2}=\frac{5}{2}$，且 $f(x_1)=3,x_1=0$，则二阶差商 $f[x_1,x_2,x_3]=$ ______

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答案： $0.875$ （或 $7/8$）

详细解析：

1. 计算一阶差商 $f[x_1,x_2]$：
   已知 $x_1=0,f(x_1)=3$；从题干推知 $x_2=2,f(x_2)=1$。
   $$f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1-3}{2-0}=-1$$
2. 计算二阶差商 $f[x_1,x_2,x_3]$：
   已知 $f[x_2,x_3]=2.5$，$x_1=0,x_3=4$。
   $$f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{2.5-(-1)}{4-0}=\frac{3.5}{4}=0.875$$

难度： ⭐⭐
考点： #差商定义 #均差表
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📖 相关公式： $n$ 阶差商公式为 $f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\frac{f[x_1,\dots ,x_n]-f[x_0,\dots ,x_{n-1}]}{x_n-x_0}$。
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若 $f(x)$ 是一个 2 次多项式，已知其二阶差商为 $1$，则其最高次项系数为？
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答案： 1。根据性质：$n$ 次多项式的 $n$ 阶差商等于其最高次项系数。
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3. 设 $X=(2,3,-4{)}^T$，则其向量范数 $\Vert X{\Vert }_2=$ ______

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答案： $\sqrt{29}$

详细解析：
向量的 2-范数（欧几里得范数）定义为各分量平方和的开方：

$$\Vert X{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

代入分量：

$$\Vert X{\Vert }_2=\sqrt{2^2+3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$$

难度： ⭐
考点： #向量范数 #2-范数
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📖 常用范数：

• 1-范数：$\Vert X{\Vert }_1=\sum |x_i|$（分量绝对值之和）
• $\infty$-范数：$\Vert X{\Vert }_{\infty }=\max |x_i|$（分量绝对值最大值）
• 2-范数：$\Vert X{\Vert }_2=\sqrt{X^{T}X}$
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  求向量 $X=(1,-5,2{)}^T$ 的 1-范数和 $\infty$-范数。
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  答案： $\Vert X{\Vert }_1=8$，$\Vert X{\Vert }_{\infty }=5$。
  解析： $\Vert X{\Vert }_1=|1|+|-5|+|2|=8$；$\Vert X{\Vert }_{\infty }=\max (1,5,2)=5$。
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4. 取步长 $h=0.1$，用欧拉法解初值问题 $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{y}{x^2}+y\\ y(1)=1\end{array}$ 的计算公式为 ______

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答案： $y_{n+1}=y_n(1.1+\frac{0.1}{x_n^2})$

详细解析：
欧拉法（Euler Method）的迭代公式为：

$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$$

本题中 $f(x,y)=\frac{y}{x^2}+y$，$h=0.1$。
代入公式：

$$y_{n+1}=y_n+0.1\left(\frac{y_n}{x_n^2}+y_n\right)$$

提取公因子 $y_n$：

$$y_{n+1}=y_n\left(1+0.1\left(\frac{1}{x_n^2}+1\right)\right)=y_n\left(1.1+\frac{0.1}{x_n^2}\right)$$

难度： ⭐⭐
考点： #欧拉法 #常微分方程数值解
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📖 相关公式：

• 显式欧拉法：$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$（一阶精度，条件收敛）
• 隐式欧拉法：$y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$（一阶精度，绝对收敛）
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  若改用后退欧拉法（隐式）解上述问题，其迭代公式是什么？
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  答案： $y_{n+1}=\frac{y_n}{1-0.1(1/x_{n+1}^2+1)}$
  解析： 后退欧拉公式为 $y_{n+1}=y_n+h(\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}^2}+y_{n+1})$，移项得 $y_{n+1}(1-h(1/x_{n+1}^2+1))=y_n$。
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5. 已知 $G=\left(\begin{array}{cc}10& 12\\ 1& 1\end{array}\right)$，则其无穷范数下的条件数 ${\mathrm{cond}}_{\infty }(G)=$ ______

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答案： $143$

详细解析：

1. 计算 $\Vert G{\Vert }_{\infty }$：
   $$\Vert G{\Vert }_{\infty }=\max (10+12,1+1)=22$$
2. 计算 $G^{-1}$：
   行列式 $\det (G)=10\times 1-12\times 1=-2$。
   $$G^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}1& -12\\ -1& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-0.5& 6\\ 0.5& -5\end{array}\right)$$
3. 计算 $\Vert G^{-1}{\Vert }_{\infty }$：
   $$\Vert G^{-1}{\Vert }_{\infty }=\max (6.5,5.5)=6.5$$
4. 计算条件数：
   $${\mathrm{cond}}_{\infty }(G)=\Vert G{\Vert }_{\infty }\cdot \Vert G^{-1}{\Vert }_{\infty }=22\times 6.5=143$$

难度： ⭐⭐
考点： #矩阵条件数 #无穷范数
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📖 核心概念： 条件数 $\mathrm{cond}(A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$。

• 它衡量了方程组解对输入数据变化的敏感程度。
• 条件数越大，矩阵越病态（Ill-conditioned）。
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  计算该矩阵 $G$ 的 1-范数条件数 ${\mathrm{cond}}_1(G)$。
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  答案： $143$
  解析： $\Vert G{\Vert }_1=\max (11,13)=13$；$\Vert G^{-1}{\Vert }_1=\max (1,11)=11$；故 ${\mathrm{cond}}_1(G)=13\times 11=143$。
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6. 用牛顿下山法求解方程 $\frac{x^5}{3}-2x=0$ 根的迭代公式是 ______

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答案： $x_{k+1}=x_k-\lambda \frac{x_k^5-6x_k}{5x_k^4-6}$

详细解析：

1. 确定函数及其导数：
   $f(x)=\frac{1}{3}{x}^5-2x⟹f^{\prime }(x)=\frac{5}{3}{x}^4-2$。
2. 写出牛顿迭代部分：
   $$\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}=\frac{\frac{1}{3}{x}_k^5-2x_k}{\frac{5}{3}{x}_k^4-2}=\frac{x_k^5-6x_k}{5x_k^4-6}$$
3. 引入下山因子 $\lambda$：
   牛顿下山法公式为：$x_{k+1}=x_k-\lambda \frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$。
   代入得：$x_{k+1}=x_k-\lambda \frac{x_k^5-6x_k}{5x_k^4-6}$。

难度： ⭐⭐
考点： #牛顿下山法 #非线性方程求根
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📖 为什么需要下山法？ 标准牛顿法虽然具有二阶收敛速度，但其收敛性高度依赖于初值的选取。当下山条件 $|f(x_{k+1})|<|f(x_k)|$ 不满足时，通过减小 $\lambda$ 来调整步长，可以保证收敛。
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若使用弦截法求解此方程，其迭代公式（双点形式）是什么？
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答案： $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$
解析： 弦截法用两点连线的斜率代替导数，避免了计算 $f^{\prime }(x)$。
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7. 设 $l_j(x)$ $(j=0,1,\dots ,n)$ 是区间 $[a,b]$ 上的一组 $n$ 次插值基函数，则插值型求积公式中的求积系数 $A_j=$ ______

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答案： ${\int }_a^b{l}_j(x)dx$

详细解析：
在插值型求积公式中，我们将被积函数 $f(x)$ 用其 $n$ 次插值多项式 $L_n(x)={\sum }_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)$ 代替。

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{L}_n(x)dx=\sum _{j=0}^{n}f(x_j)\left({\int }_a^b{l}_j(x)dx\right)$$

令 $A_j={\int }_a^b{l}_j(x)dx$，即得到求积公式 ${\sum }_{j=0}^n{A}_{j}f(x_j)$。

难度： ⭐
考点： #插值型求积公式 #求积系数
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📖 核心知识点：

• 求积系数 $A_j$ 只与节点 $x_j$ 的选取有关，与被积函数 $f(x)$ 无关。
• 牛顿-科特斯公式：节点等距分布时的插值型求积公式。
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  对于区间 $[-1,1]$ 上的 2 节点插值型求积公式（节点为 $-1$ 和 $1$），其求积系数 $A_0,A_1$ 是多少？
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  答案： $A_0=1,A_1=1$。
  解析： 区间长度为 2，等权分配。
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8. 当插值节点为等距分布时，如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 ______

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答案： 差分形式（或牛顿插值公式）

详细解析：
在等距节点下，使用差分形式（如牛顿前向/后向插值公式）可以更直观地观察到各阶差分的量级。当某阶差分由于舍入误差开始出现不规则波动（噪声）时，可以据此判定插值阶数的选取上限，从而有效地估计和控制舍入误差的影响。

难度： ⭐⭐
考点： #舍入误差 #等距节点插值
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📖 计算稳定性提示： 高次插值（如 Lagrange 插值）容易出现 Runge 现象，导致边缘误差极大。在实际应用中，通常采用分段低次插值来平衡计算复杂度和误差控制。
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为了抑制 Runge 现象，应该如何选择插值节点？
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答案： 使用 Chebyshev 节点（切比雪夫节点）。
解析： Chebyshev 节点在区间两端分布较密，中间较稀，能使插值余项的最大值达到最小。
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9. 解方程 $f(x)=0$ 的简单迭代法 $x_{k+1}=\phi (x_k)$ 满足在有根区间内 ______，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。

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答案： $|{\phi }^{\prime }(x)|⩽L<1$

详细解析：
根据局部收敛性定理（或压缩映像原理），若迭代函数 $\phi (x)$ 在有根区间 $[a,b]$ 内满足：

1. $\phi (x)\in [a,b]$（映射自身）；
2. $\phi (x)$ 可导且满足 $|{\phi }^{\prime }(x)|⩽L<1$（压缩性）。
   则该迭代过程对区间内任意初值均收敛。

难度： ⭐
考点： #简单迭代法 #收敛性条件
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📖 收敛速度：

• 若 $0<|{\phi }^{\prime }(\alpha )|<1$，则为线性收敛。
• 若 ${\phi }^{\prime }(\alpha )=0$，则至少为平方收敛（如牛顿法）。
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  如果迭代序列收敛较慢，可以采用哪种方法进行加速？
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  答案： Aitken 加速法（埃特金加速）。
  解析： 通过利用序列的前几项预测极限位置，大幅提高收敛阶。
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10. $n$ 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 ______

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答案： $2n-1$

详细解析：
高斯求积公式通过最优地选择求积节点 $x_j$，使得对于 $n$ 个节点，其代数精度达到最高。理论证明，选取 $n$ 次正交多项式的零点作为节点时，公式对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式均能精确成立。

难度： ⭐
考点： #高斯求积公式 #代数精度
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📖 常见高斯求积：

• Gauss-Legendre 公式：最常用，节点是 Legendre 多项式的根。
• Gauss-Chebyshev 公式：用于处理带权函数的积分。
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  3 个节点的高斯求积公式代数精度是多少？
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  答案： 5。利用公式 $2(3)-1=5$。
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