0、背景

原文来自公众号“拓扑漫游杠精”，原文链接在这里，欢迎关注点赞。
之前学习代数拓扑，了解到这里面最主要的就是（持续）同调计算。下面给出同调群计算的主要流程。

1、原文

代数拓扑的核心是将拓扑问题转化为代数问题计算，最典型的标准计算流程以单纯同调为例，以下为单纯同调标准计算流程：

一、‌空间剖分，构建单纯复形‌
将目标拓扑空间切割为不同维度的单纯形（0维是点、1维是线段、2维是三角形……n维单纯形由n+1个顶点构成凸包），再按共享边界规则粘合得到单纯复形K，并记录所有不同维度的单纯形。

二、‌生成各维度链群‌
对任意维度$n$，以该维度下所有单纯形为基，生成自由交换群$C_n(K)$，称为‌$n$维链群‌，群中元素为$n$维链，本质是单纯形的整系数线性组合。

三、‌定义边界算子‌
对每个n维单纯形，定义边界映射$\partial n:C_n(K)\to C_{n-1}(K)$：将n维单纯形映射为其所有$n-1$维边界单纯形的交错和，符号由顶点排列顺序决定方向。该算子天然满足$\partial n\circ \partial (n+1)=0$，即“边界的边界为空”。

四、‌定义闭链群与边缘链群‌

1、闭链群：是边界算子的核$Z_n(K)=ker\partial n=c\in C_n(K)\mid \partial n(c)=0$，即边界为$0$的$n$维链，每个非平凡闭链对应一个真实存在的$n$维“洞”。

2、边缘链群：是边界算子的像$B_n(K)=im\partial (n+1)=\partial (n+1)(c)\mid c\in C_{n+1}(K)$，本质对应已经被填满的“洞”，不代表真实拓扑洞。

3、由∂n∘∂n+1=0可推得$B_n(K)\subseteq Z_n(K)$，因此可以构造商群得到同调群。

五、‌计算同调群并解读拓扑信息‌
$n$维同调群定义为商群$H_n(K)=Z_n(K)/B_n(K)$。其中同调群的秩就是‌$n$阶贝蒂数‌，对应$n$维独立“洞”的数量，挠部分对应带方向的特殊拓扑结构。

六、‌推导最终拓扑结论‌
基于同调群可得到明确拓扑性质，例如：

1、欧拉特征数满足$\chi =\sum i=0n(-1)idimHi=\sum i=0n(-i)vi$（vi为i维单纯形个数），可以用来验证两个空间是否同胚；

2、闭流形的最高维同调群如果同构于整数群，则流形可定向，否则不可定向。