三相电压合成空间矢量完整推导步骤

一、已知基础条件

1. 三相瞬时电压表达式

$$\{\begin{array}{l}{U}_A(t)=U_m\cos \theta \\ U_B(t)=U_m\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)\\ U_C(t)=U_m\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\end{array},\theta =2\pi ft$$

2. 欧拉公式

$$e^{j\alpha }=\cos \alpha +j\sin \alpha$$

3. 空间旋转因子展开

$$e^{j\frac{2\pi }{3}}=\cos \frac{2\pi }{3}+j\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$e^{j\frac{4\pi }{3}}=\cos \frac{4\pi }{3}+j\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. 空间矢量定义式

$$U(t)=U_A(t)+U_B(t)e^{j\frac{2\pi }{3}}+U_C(t)e^{j\frac{4\pi }{3}}$$

二、步骤1：代入展开，拆分实部、虚部

将三相电压与旋转因子全部代入定义式，提取公因子 $U_m$：

$$U(t)=U_m\cos \theta$$

• $$U_m\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
  $$\begin{gathered} U_m\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ =U_m[\underset{\text{实部 }Re}{\underbrace{\cos \theta -\frac{1}{2}\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)-\frac{1}{2}\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}} \end{gathered}$$
  $$j\cdot \underset{\text{虚部 }Im}{\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}}]$$

三、步骤2：化简实部 $Re$

三角和差化积公式：$\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$
$$\begin{array}{rl}Re& =\cos \theta -\frac{1}{2}\left[\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\right]\\ & =\cos \theta -\frac{1}{2}\cdot 2\cos \theta \cos \frac{2\pi }{3}\\ & =\cos \theta -\cos \theta \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\\ & =\cos \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \\ & =\frac{3}{2}\cos \theta \end{array}$$

四、步骤3：化简虚部 $Im$

三角和差化积公式：$\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$
$$\begin{array}{rl}Im& =\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)-\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\right]\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sin \theta \sin \frac{2\pi }{3}\\ & =\sqrt{3}\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{3}{2}\sin \theta \end{array}$$

五、步骤4：合并实部虚部

将化简后的实部、虚部代回原式：
$$\begin{array}{rl}U(t)& =U_m\left(\frac{3}{2}\cos \theta +j\frac{3}{2}\sin \theta \right)\\ & =\frac{3}{2}{U}_m\cdot (\cos \theta +j\sin \theta )\end{array}$$

六、步骤5：欧拉公式合并得到最终结果

由欧拉公式 $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，代入得：
$$\mathbf{U}(\mathbf{t})=\frac{3}{2}{\mathbf{U}}_{\mathbf{m}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{j\theta }}$$

推导要点总结

1. $e^{j\frac{2\pi }{3}}、e^{j\frac{4\pi }{3}}$ 为固定空间旋转因子，补偿三相绕组120°空间夹角；
2. 推导两处使用欧拉公式：展开固定旋转因子、末尾合并复指数；
3. 中间消去相位项依靠三角函数和差化积；
4. 物理意义：三相对称正弦电压合成幅值恒定、角频率 $\omega =2\pi f$ 逆时针匀速旋转的空间矢量。