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场景

步骤1

步骤2

结论

得出结论

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在使用OpenGL编程的过程里，难免要处理刚体转动的问题。而处理此类问题往往要用到欧拉角。欧拉角的转动分为3步：进动、章动、自转（见前面的博客阐述欧拉角概念-CSDN博客），而且都是绕着附着于刚体的内部坐标系的轴转动，所以转动的第二、第三步里的转轴指向是受第一步转动影响的。

所以处理这类问题最棘手的点在于，虽然一开始附着于刚体的内部坐标系（或者叫刚体坐标系）与世界坐标系（或者叫外部坐标系、固定坐标系）重合。但是完成进动（也就是第一步）以后，内部坐标系就不再与世界坐标系重合了，这就让后面的转动很难被描述清楚。假如能够把绕内部坐标轴的转动等价为绕世界坐标系的转动，问题就变得容易处理的多，因为世界坐标系是固定的。

我们把绕内部坐标系的转轴做的旋转叫做内旋，把绕着外部坐标系的坐标轴的旋转叫做外旋。

神奇的是，利用线性代数知识，我们可以通过相似变换把内旋转换成效果等价的外旋。

从一个例子入手介绍什么是相似变换。

场景

假设一个人站在潜水艇的中央，目光直视前方。而潜水艇坐标系与世界坐标系重合。此时人的视线用一个世界坐标系的矢量表示

步骤1

人移动目光到别处，让他注视潜艇里某个固定位置。这相当于矢量做了一个旋转变换L（L既等于内部坐标系下的旋转变换，又等于世界坐标系下的旋转变换，因为此时潜水艇坐标系与世界坐标系重合）。假设变换后矢量变为（也是世界坐标系下的矢量）,则

 = L *                                                                                                         (1)

步骤2

保持人的视线在潜艇内部不动，继续注视潜艇内同一个位置。让潜艇转动。那么潜艇将经历旋转变换，用矩阵R表示。显然，在世界坐标系下，人的视线也旋转了，而且这个旋转的操作同样用R表示。用表示潜艇旋转后，人的视线在世界坐标系下的矢量。

 = R *                

换言之，                                                                                 

  =  *                                                                                         (2)

假如此时人仍然平视的话，平视矢量将变为

 = R *                           

换言之，

       =      *                                                                                          (3)               

   把(2)（3）代入(1)

 *      = L *  *        

两边同时乘以R，

     = R * L *  *    

结论

已知两个矢量，在内部坐标系里的表示是(a1,a2,a3,.....)--这里指的就是 ,(b1,b2,b3......)--这里指的就是  ，且已知(a1,a2,a3,.....)可以通过与矩阵L的旋转变换乘法得到(b1,b2,b3......)，也即：

那么这两个矢量在世界坐标系的表示(c1,c2,c3,.....)--这里指的就是,和(d1,d2,d3......)--这里指的就是，之间也可以通过旋转矩阵   乘法完成旋转变换，且：

   = R * L * 

R是局部坐标系相对于世界坐标系的转动矩阵， 是其逆矩阵。

形如   = R * L * 的变换就是相似变换。