1 设整数 $n$, $q$ 满足 $n\ge 5$, $2\le q\le n$. 求证: $(q-1)|\left[\frac{(n-1)!}{q}\right]$. (2002, 澳大利亚)

2 设 $m$ 是正整数. 求证: 若 $2^{m+1}+1$ 整除 $3^{2^m}+1$, 则 $2^{m+1}+1$ 为素数. 上述命题的逆命题是否成立? (2003, 韩国)

3 求证: 从任意六个互素四位数中可以选出五个互素的数. (2003, 俄罗斯九年级第四轮)

4 求证: 从任意的五个互素的三位数中可以选出互素的四个数. (2003, 俄罗斯十年级第四轮)

5 规定: 若正整数构成的有限集 $C$ 满足: 如果对每个 $k\in \mathbb{Z}$, 存在 $a\ne b\in C$, $\gcd (a+k,b+k)>1$, 则可以称 $C$ 为好集. 求证: 若一个好集 $C$ 的所有元素之和是 $2003$, 则存在 $c\in C$, 使得集合 C\{c}C\backslash \{c\}C\{c} 也是好集. (2003, 保加利亚)

6 (1) 所有的 正整数 $k$, $k\ge 3$ 满足: 有 $k$ 个正整数, 使得任意的两个不互素, 任意的三个互素. (2) 是否存在一个无穷的正整数集, 满足 (1) 中的条件? (2003, 白俄罗斯数学奥林匹克九年级决赛)

7 设 $p$ 为一个奇素数. 求证: ${\sum }_{k=1}^{p-1}{k}^{2p-1}\equiv \frac{p(p+1)}{2}\mathrm{mod}{p}^2$. (2004, 加拿大)

8 设 $k$ 为大于 $1$ 的固定整数, $m=4k^2-5$. 求证: 存在正整数 $a$, $b$, 使得数列 {xn}\{x_n\}{xn​}: $x_0=a$, $x_1=b$, $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$ ($n=0,1,\dots$) 其所有的项均与 $m$ 互素. (第45届 IMO 预选题)

9 设 $n$, $k$ 均为正整数, 其中, $n$ 为奇数或 $n$, $k$ 均为偶数. 求证: 存在整数 $a$, $b$ 使得 $(a$, $n)=1$, $(b$, $n)=1$, $k=a+b$. (2004, 西班牙)

10 求所有的整数 $m$, $n$, 使得 $mn|\left(3^m+1\right)$, $mn|\left(3^n+1\right)$. (2005, 韩国)

11 设 $x$ 为整数, $y$, $z$, $w$ 为奇数. 求证: $17|x^{y^{z^w}}-x^{y^z}$. (2005, 韩国)

12 设 $n$ 是正整数, $n\ge 2$. 求证: $n|\left[1^{n-1}+2^{n-1}+\cdots +(n-1{)}^{n-1}+1\right]$ 的充要条件是对于 $n$ 的任意素因子 $p$, 有 $p|\left(\frac{n}{p}-1\right)$ 且 $(p-1)|\left(\frac{n}{p}-1\right)$. (2005, 丝绸之路)

13 设有一个数列 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, 其中 $a_n=2^n+3^n+6^n-1$, 求所有与此数列的每一项都互素的正整数. (2005, IMO 预选题)

14 求所有的正整数 $n$, $n>1$ 使得存在唯一的正整数 $a\le n!$ 满足 $n!|(a^n+1)$. (2005, IMO 预选题)

15 设 $a$, $b$ 为正整数, 使得对于任意的正整数 $n$, 均有 $(a^n+n)|(b^n+n)$. 求证: $a=b$. (2005, IMO 预选题)

16 设 $p$ 为素数, $p\ge 5$, 有一个 $p\times p$ 的网格. 统计所有这样的选取方格的方法: 取 $p$ 个方格, $p$ 个格不同时位于一行, 但可以同时位于一列. 记取法数量为 $r$. 求证: $p^5|r$. (2006, 亚太地区)

17 设 $p$ 为使得 $p^2|2^{p-1}-1$ 的素数. $n$ 是任意的一个自然数. 求证: $\left(p-1\right)\left(p!+2^n\right)$ 至少有 $3$ 个不同的素因子. (2006, 保加利亚)

18 设 $n$ 是一个正整数. 将 {1≤a≤n:n∣(an+1)}\{1\le a\le n:n|(a^{n}+1)\}{1≤a≤n:n∣(an+1)} 记为 $A_n$. 分别求出所有使得条件(1), (2), (3)成立的 $n$. (1) $A_n$ 非空; (2) $|A_n|$ 大于 $0$ 且为偶数; (3) $|A_n|=130$. (2006, 意大利国家队选拔赛)

19 设 $p$ 为一个素数. 求所有的自然数 $n$, 使得 $p|\varphi (n)$, 且 $n|\left(a^{\frac{\varphi (n)}{p}}-1\right)$ 对于所有与 $n$ 互素的正整数 $a$ 成立. (2006, 伊朗国家队选拔赛)

20 设 $n$ 为一个大于1的正整数. 求所有的正整数数组 $(a_1$,$\dots$, $a_n)$, 其中的数两两互素, 且互异, 并满足对于任意的 $i$, $1\le i\le n$, 有 $\left(a_1+\cdots +a_n\right)|\left(a_1^i+\cdots +a_n^i\right)$. (2006, 伊朗国家队选拔赛)

21 设 $p$ 为一个素数, $n$ 为一个正整数. 求证: $np|\left(C_{np}^p-n\right)$. (2011-2012, 匈牙利)

22 设 $p$ 为一个素数, $n$ 为一个正整数. 求所有使得 $\frac{n^p+1}{p^n+1}$ 为整数的二元数组 $(p,n)$. (2006, 亚太地区)

23 设 $p$ 为一个素数. 求出所有的正整数 $n$, 使得对所有的整数 $x$, 若 $p|(x^n-1)$, 则 $p^2|\left(x^n-1\right)$. (2012, 日本)

24 设 $p$ 为一个奇素数. 求证: $1^{p-2}+2^{p-2}+\cdots +{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^{p-2}\equiv \frac{2-2^p}{p}\mathrm{mod}p$. (2012, 新加坡)

25 设有一个整数数列 {an}\{a_{n}\}{an​}, 满足 $a_0=-4$, $a_1=-7$, $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$. 求证: 存在无穷多个下标 $n$, 使得 $a_n$ 为正合数. (2012, 德国)

26 作规定如下: 若 $n$ 为一个正整数, 则可以将 $n$ 的最大素因子记为 $v(n)$. 问: 是否存在无限正整数列 $a_1$, $a_2$,$\cdots$ 满足: (1) $v(a_1)<v(a_2)<\cdots$ ; (2) 对于任意的 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k$, $k\ge 1$, 有 $a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots +a_{i_k}$ 不为 $a^m$, $m>1$ 型的数; (3) 对于任意的 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k$, $k\ge 2$, 有 $a_{i_1}{a}_{i_2}\cdots a_{i_k}$ 为 $a^m$, $m>1$ 型的数. (第19届朝鲜数学奥林匹克)

27 作规定如下: 若一个有限数列 $d_1$, $\dots d_n$, 可以构造分别以 $d_1$, $\dots d_n$ 为公差的 $n$ 个等差数列, 使得这些等差数列合起来包括了所有的正整数, 则称这个数列为覆盖数列. 若删掉一个覆盖数列中任何一个数, 结果都不是覆盖数列, 则称这个覆盖数列为最小覆盖数列. 设有一个覆盖数列 $d_1$, $\dots d_n$, 名为 $a$. 问: (1)若 $a$ 是最小覆盖数列, 且有一个素数 $p$, 整除 $d_1$,$\dots$, $d_k$ 但不整除 $d_{k+1}$,$\dots d_n$. 求证: $d_1\dots d_k$ 模 $p$ 的余数包含了 $0$, $1$, $\dots$, $p-1$ ; (2) 若 $d_1$, $\dots d_n$ 中的每一个均只有一个素因子, 给出所有由 $d_1$,$\dots$, $d_n$ 构成的覆盖数列和最小覆盖数列. (2011-2012, 伊朗)

28 设 $p$ 为一个奇素数, 若整系数多项式 $f(x)={\sum }_{j=0}^n{a}_j{x}_j$ 满足 ${\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{(p-1)|j}{j>0}}{a}_j\equiv i\mathrm{mod}p$, 也就是 $x$ 指数为 $p-1$ 正整数倍的项系数之和模 $p$ 同余于 $i$, 则称 $f(x)$ 为 $i$-剩余. 求证 {f(0),f(1),…,f(p−1)}\{f(0), f(1), \dots, f(p-1)\}{f(0),f(1),…,f(p−1)} 为模 $p$ 的完全剩余系当且仅当多项式 $f(x)$, $f^2(x)$,$\dots$, $f^{p-2}(x)$ 为0-剩余, $f^{p-1}$ 为1-剩余. (2011-2012, 伊朗)

29 设有正整数 $m$, $n$, $n$ 为奇数. 规定: 若 $k$ 是正整数, $S_k$ 为 $1$ 到 $k$ 中所有与正整数 $k$ 互素的数之和. 求证: 存在 $x$, $y$, 满足 $m|x$, 且 $2S(x)=y^n$. (2011-2012克罗地亚国家队选拔赛)

30 设 $P$ 为所有素数构成的集合. 规定: 若 $A$, $S$ 为一个正整数构成的集合, 则: 若存在正整数 $N$, 使得对于所有的 $a\in A$ 和 $0\le b<a$, 均存在 $s_1$, $s_2$, $\dots$, $s_n\in S$, $1\le n\le N$ 满足 $b\equiv s_1+s_2+\cdots +s_n\mathrm{mod}a$, 则可以形容集合 $A$ 为 $S$-适当的. 求一个正整数构成的集合 $S$, 使得 $P$ 为 $S$-适当的, 而正整数集非 $S$-适当的. (2012土耳其)

31 分别求出当 $A=7$ 和 $A=2012$ 时关于 $n$ 和 $k$ 的不定方程 $n!+An=n^k$ 的全部非负整数解. (2012, 奥地利)

32 求正整数集中有多少个整数 $N(0\le N<10^6)$ 满足: 存在整数 $1\le k\le 43$, 使得 $2012|N^k-1$. 提示: $2012=2^2\times 503$. (2012, 奥地利)

33 作规定如下: 对于整数 $a$, $b$, 和正整数 $n$, 若它们满足对于任意的整数 $m$, $k$, 和多项式 $p(x)=a{x}^3+bx$, 有 $n|\left(p(m)-p(k)\right)\Rightarrow n|\left(m-k\right)$, 则可以形容 $(a,b)$ 为 $n$-好的. 若有无穷多个正整数 $n$ 使得整数数组 $(a,b)$ 为 $n$-好的, 则称 $(a,b)$ 为极好的. (1) 求一个51-好, 但非极好的数组. (2) 求证: 所有2010-好的数组均是极好的. (2010, IMO 预选题)

34 设 $S$ 为 $f(x)=a{x}^2+bx$ ($0\le a$, $b\le 2010^{18}$, $a$, $b$ 为整数) 类型的多项式的集合, 求多项式 $p(x)\in S$ 的数目, $p(x)$ 满足: 存在 $Q(x)\in S$, 使得 $Q(p(n))\equiv n\mathrm{mod}2010^{18}$ 对任意的整数 $n$ 成立. (2010, 土耳其)

35 设 $n$ 是一个整数, 且 $n$ 不是2的幂. 求证: 存在正整数 $m$, 满足: (1) $m$ 可以写成两个连续正整数之积. (2) $m$ 的十进制表达是 $\overline{a_1\cdots a_n{a}_1\cdots a_n}$ 形式. (2010, 中欧)

36 求最小的整数 $s$, 满足 $s>2011$, 在 $s$ 被 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ 除的余数中有两个 $1$, 两个 $2$, 两个 $3$. (2010-2011, 匈牙利)

37 设 $P$ 为一个素数, $k$ 为一个不超过 $p$ 的正整数. $f(x)$ 为一个整系数多项式, 且对于所有的整数 $x$, $p^k|f(x)$. 求证: 存在整系数多项式 $A_0(x)$, $A_1(x)$, $\dots$, $A_k(x)$, 使得 $f(x)={\sum }_{i=0}^k(x^p-x{)}^i{p}^{k-i}{A}_i(x)$. 并求证当 $k>p$ 时, 该结论不成立. (2010-2011, 伊朗)

38 规定: 对于正整数 $a$, $\tau (a)$ 和 $\varphi (a)$ 分别表示 $a$ 的所有正因数的个数和与 $a$ 互素且不超过 $a$ 的正整数个数. 求所有只有两个不同素因子的正整数 $n$, 使得 $\varphi (\tau (n))=\tau (\varphi (n))$. (2011, 保加利亚)

39 求证或证伪: 对于任意的整数 $n\ge 2$, 有 $2^{2^n}\equiv 4\mathrm{mod}{2}^n-1$. (2011, 美国)

40 设有正有理数 $a_1$, $\dots$, $a_n$, 满足对于任意的正整数 $m$, 有 $a_1^m+\cdots +a_n^m$ 是整数. 求证: $a_1$, $\dots$, $a_n$ 都是整数. (2011, 蒙古)

41 设 $m$ 为正奇数. 求证: 存在无穷多个正整数 $n$, 使得 $\frac{2^n-1}{mn+1}$ 为整数. (2011, 蒙古)

42 求出一个整数 $a$, 满足: 整数集中只有有限个正整数 $n$, 使得对于任意的整数 $k$, $l$, 都有: 若 $n|(P(k)-P(l))$, 则 $n|(k-l)$, 其中 $P$ 为多项式 $P(x)=x^5+ax$. 求证: $95$ 一定是一个 $n$ 这样的数. (2011, 克罗地亚国家队选拔赛)

43 求证: 不存在无穷多个素数构成的数列 $p_0$, $p_1$, $\dots$, 使得对所有的正整数 $k\ge 2$, 满足: $p_k-2p_{k-1}=\pm 1$. (2011, 荷兰)

44 求证: 对于任意给定的正整数 $m$, $n$, 存在无穷多组互素的正整数 $a$, $b$, 使得 $\left(a+b\right)|\left(a{m}^a+b{n}^b\right)$. (2011, 中国)

45 设 $n$ 为一个正整数, $a$ 为一个整数, $a$, $n$ 互素. 求证: $\frac{a^{\varphi (n)}-1}{n}\equiv {\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le j\le n,}{(j,n)=1}}\frac{1}{aj}\left[\frac{aj}{n}\right]\mathrm{mod}n$. (2010, 中国香港)

46 是否存在正整数 $t$, $u$, 使得 $100^{200}$ 为 $7^t-3^u$ 的一个因数. (2009-2010, 匈牙利九年级组)

47 设 $k$ 是一个正整数, $m$ 为一个奇数. 求证: 存在一个正整数 $n$, 使得 $2^k|n^n-m$. (2010, 日本)

48 规定: 若 $n$ 为一个正整数, 则可以将 $n!$ 的素因子分解中 $2$ 的幂为 $v(n)$. 求证: 对于任意的正整数 $a$ 与 $m$, 存在正整数 $n>1$, 使得 $v(n)\equiv a\mathrm{mod}m$. (2010, 泰国)

49 规定: 若 $n$ 为一个正整数, 且 $n\ge 2$, 则可以将不超过 $n$ 且不与 $n$ 互素的数之和记为 $f(n)$. 求证: 对于任意的正整数 $n$ 与素数 $p$, 均有 $f(n)\ne f(n+p)$. (2010, 巴尔干地区)

50 是否存在 $n^k$ ($k\ge 3$, $n$ 和 $k$ 均为正整数) 型的六位数, 使得后三位构成的数与右前三位构成的数之差为 $4$ ? (2010, 保加利亚)

51 规定: 设 $p$ 是一个素数, 若存在无穷多个正整数 $k$, 使得存在 $k$ 个正整数 $n_1$, $n_2$, $\dots$, $n_k\ge \frac{p-1}{2}$, 满足: 若 $k\ge 2$, 定义 $n_{k+1}=n_1$, 则对于 $1\le i\le k$, $p^{n_i}-1$ 是 $n_{i+1}$ 的倍数且 $\frac{p^{n_i}-1}{n_{i+1}}$ 与 $n_{i+1}$ 互素. 则称 $p$ 为漂亮素数. 求证: $2$ 不是漂亮素数, 但所有奇素数都是漂亮素数. (2010, 韩国)

52 是否存在正整数 $n$, 使得 $103|n$, 且 $2^{2n+1}\equiv 2\mathrm{mod}n$ ? (2010, 印度国家队选拔赛)

53 与第 $43$ 题重复, 省略. (2010, 克罗地亚国家队选拔赛)

54 已知 $n$ 是一个大于 $1$ 的整数. 求证: 关于 $x$, $y$ 的不定方程 $(x+1{)}^n-x^n=ny$ 无正整数解. (2010, 克罗地亚国家队选拔赛)

55 设有一个给定的素数 $p$, 求所有的正整数 $k$, 使得 $p|S_k$, 其中 $S_k=1^k+\cdots +(p-1{)}^k$. (2009, 匈牙利-以色列)

56 设 $N=2010!+1$. 求证: (1) 不能被 $4021$ 整除, (2) $N$ 不能被 $2027$, $2029$, $2039$ 整除, (3) $N$ 有比 $2050$ 大的素因子. 提示: $4021$, $2027$, $2029$, $2039$ 是素数. $2050=2\times 5^2\times 41$. (2009, 丝绸之路)

57 (1) 求证: 对于任意的相异正整数 $a$, $b$, 由无穷多个 $n$ 使得 $a+n$ 与 $b+n$ 互素. $(2)$ 是否存在不同正整数 $a$, $b$, $c$, $d$, 对于任意的正整数 $n$, 使得 $a+n$, $b+n$, $c+n$, $d+n$ 不互素? (2010, 克罗地亚二年级组决赛)

58 求所有的素数二元组 $\left(p,q\right)$, $pq|\left(5^p+5^q\right)$. (2009, 中国)

59 设 $n$ 是一个正整数. 求证: 存在由 $n$ 个不同正整数构成的集合 $S$, 使得任意两个 $S$ 的非空子集 $A$, $B$, $A\ne B$, 有 ${\sum }_{x\in A}x/|A|$ 和 ${\sum }_{x\in B}x/|B|$ 为互素的合数. (2009, 中国)

60 设 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ 是互异的正整数, 使得对于任意的正整数 $n$, 有 $[(n+1)a_1^n+n{a}_2^n+(n-1)a_3^n]|[(n+1)b_1^n+n{b}_2^n+(n-1)b_3^n]$. 求证: 存在正整数 $k$, 使得 $b_1/a_1=b_2/a_2=b_3/a_3=k$. (2010, 中国)

61 求证: 有无穷多个正整数 $n$ 满足 $n^2+1|n!$, 也有无穷多个正整数 $n$ 不满足 $n^2+1|n!$. (2008, 罗马尼亚)

62 拉里和罗布共同驾驶一辆车, 从 $A$ 点出发, 目的到 $B$ 点, $AB$ 之间的距离是正整数. 出发时汽车朝向 $B$ 点, 拉里每行驶 $l$ 千米使汽车左转 $90^{\circ }$, 罗布每行驶 $r$ 千米使汽车右转 $90^{\circ }$, 若两人同时操作汽车则两人的操作抵消. $l$ 与 $r$ 互素, 且无论 $AB$ 两点之间的距离为多少总能到 $B$. 求所有的整数 $l$, $r$. (2009, 亚太地区)

63 设有一个数列 {an}\{a_{n}\}{an​}, $a_0=a$ ($a$是正整数), 递推公式为 $a_n=a_{n-1}+40^{n!}$. 求证: 数列 {an}\{a_{n}\}{an​} 中有无数个 $2009$ 的倍数. 提示: $2009=7^2\times 41$. (2009, 奥地利)

64 规定: 对于一个正整数构成的有限集合, 若集合中的元素两两互素, 则可以形容其为独立的, 若任意非空子集的均值是整数, 则可以形容其为完美的. 求证: 对于任意的 $n$, 有独立且完美的 $n$ 元集合. 是否存在一个无穷的正整数集合 $S$, 使得 $S$ 的独立子集一定是完美的, 且对于任意的正整数 $n$, 有 $S$ 的 $n$ 元子集是独立的? (2009, 爱沙尼亚国家队选拔赛)

65 求所有的整数 $k$, 使得对任意的整数 $n$, 均有 $\left(4n+1,kn+1\right)=1$. (2009, 中欧)

66 设有 $n$ 个正整数 $1\le a_1<\cdots <a_n\le 50$, 满足: 对于任意的 $n$ 个正整数 $b_1$, $\dots$, $b_n$, 存在一个正整数 $m$ 和 $n$ 个正整数 $c_1$, $\dots$, $c_n$, 使得 $c_i^{a_i}/b_i=m$, $i=1$, $\dots$, $n$. (2009, 捷克-斯洛伐克-波兰)

67 设 $A$ 为由正整数构成的无限集, $n>1$ 为整数, 对于任意的一个不是 $n$ 的素因子的素数 $p$, $A$ 中有无穷多个元素不被 $p$ 整除. 求证: 对于任意的 $m$, 可以找到 $A$ 的子集 $S$, 使得 $\sum _{x\in S}x\equiv 1\mathrm{mod}m$ 且 $n|\sum _{x\in S}x$. (2008, 中国)

68 求所有的三元正整数数组 $\left(p,q,n\right)$, 使得 $p$, $q$ 是奇素数, $n>1$, $q^{n+2}\equiv 3^{n+2}\mathrm{mod}{p}^n$, $p^{n+2}\equiv 3^{n+2}\mathrm{mod}{q}^n$. (2008, 中国)

69 求 $S=C_{2008}^0+2C_{2008}^1+3C_{2008}^2+\cdots +2009C_{2008}^{2008}$ 除以 $2008$ 所得的余数. 提示: $2008=2^3\times 251$. (第39届澳大利亚数学奥林匹克)

70 设素数 $p=6k+1$, $k>1$. $m=2^p-1$. 求证: $\frac{2^{m-1}-1}{127m}$ 为整数. (第15届土耳其数学奥林匹克)

71 求证: 对于任意的正整数 $n\ge 0$, 可以找到 $n$ 个大于 $1$ 且两两互素的正整数 $k_1$, $\dots$, $k_n$, 使得 $k_1\cdot \cdots \cdot k_n$ 是 $k\left(k+1\right)$ 型整数. (2008, 美国)

72 求所有的正整数 $n\ge 2007$, 使得对于任意不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的三个正整数 $x$, $y$, $z$, 有 $\left(x+y+z,n\right)=1$. (2008, 哥伦比亚)

73 规定: 对于任意的素数 $n$, 集合 {1,…,n}\{1, \dots, n\}{1,…,n} 中与 $n$ 互素的数之和可以记为 $S(n)$. 求证: (1) $2S(n)$ 不是完全平方数. (2) 对于给定的两个正整数 $m$, $n$, $n$ 为奇数, 一定存在正整数 $x$, $y$, 使得 $m|x$, 且 $2S(x)=y^n$. (2008, 哥伦比亚)

74 求所有的奇素数 $p$, 使得 $p|\sum _{n=1}^{103}{n}^{p-1}$. (2008, 新加坡国家队选拔赛)

75 求证: 存在一个正整数 $n$, 使得对任意整数 $k$, $k^2+k+n$ 的所有素因子大于 $2008$. (2008, 捷克-斯洛伐克-波兰)

76 设 $a$是一个正整数. 求证: 存在一个正整数 $n$, 使得存在正整数 $m_1=\overline{a_1\dots a_k}$, $m_2=\overline{b_1\dots b_t}$, 使得$n=\overline{m_1{m}_2}$, 且 $n=a\overline{m_2{m}_1}$. (2008, 意大利国家队选拔赛)

77 设 $m=2007^{2008}$, 问: 有多少个正整数 $n<m$, 使得 $m|n\left(2n+1\right)\left(5n+2\right)$. 提示: $2007=3^2\times 223$. (2008, 越南)

78 设 $x$, $y$ 都是 $\left(0,1\right)$ 区间的实数, 且 $y$ 的小数点后的第 $n$ 位数字等于 $x$ 的小数点后的第 $2^n$ 位数字. 求证: 若 $x$ 是有理数, 则 $y$ 也是有理数. (2006, IMO预选题)

79 求关于 $x$, $y$ 的不定方程 $\frac{x^7-1}{x-1}=y^5$ 的所有整数解. (2005, IMO预选题)

80 求所有的素数二元组 $\left(p,q\right)$, $pq|\left(p^p+q^q+1\right)$. (2007, 韩国)

81 设 $n$ 是一个大于等于 $2$ 的正整数, 若存在正整数 $b$, 使得 $\frac{b^n-1}{b-1}$ 是素数幂的形式. 求证: $n$ 为素数. (2007, 爱沙尼亚国家队选拔赛)

82 设 $p$是一个大于 $3$ 的素数. 求证: $\left(1\right){\left(p-1\right)}^p+1$ 至少有一个不同于 $p$ 的素因子. $\left(2\right)$ 设 ${\left(p-1\right)}^p+1$ 的素因子分解为 ${\Pi }_{i=1}^n{p}_i^{a_i}$. 求证: ${\sum }_{i=1}^n{p}_i{a}_i\ge \frac{p^2}{2}$. (2007, 意大利国家队选拔赛)

附录:

$200$ 以下的质数: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$, $101$, $103$, $107$, $109$, $113$, $127$, $131$, $137$, $139$, $149$, $151$, $157$, $163$, $167$, $173$, $179$, $181$, $191$, $193$, $197$, $199$.

录入完稿: 2026年5月15日