最近学路径规划，忘记了万向死锁的原因（也可能本身就懵懵懂懂），我看网上大量关于俯仰角旋转90°导致“x轴与z轴重合”的说法。我对此表示不理解，首先欧拉角旋转包括固定轴和变动轴，无论绕什么轴旋转，都不应该出现所谓的“轴重合”的这种反直觉的说法。

一、数学公式的角度分析

万向死锁的本质，可以从旋转矩阵的数学结构来理解。设物体依次绕 Z 轴、Y 轴、X 轴旋转，对应的欧拉角为 α（偏航角）、β（俯仰角）、γ（滚转角），则总的旋转矩阵为：

R = Rz(α) · Ry(β) · Rx(γ)

其中各基本旋转矩阵为：

Rz(α) = [cosα  -sinα  0]
         [sinα   cosα  0]
         [  0      0    1]

Ry(β) = [cosβ   0   sinβ]
         [  0    1     0 ]
         [-sinβ  0   cosβ]

Rx(γ) = [1    0      0  ]
         [0  cosγ  -sinγ]
         [0  sinγ   cosγ]

将三者相乘，得到完整的旋转矩阵。当 β=90 时，cosβ=0，sinβ=1，代入后矩阵会退化为：

R = [ 0   sin(γ-α)   cos(γ-α) ]
    [ 0   cos(γ-α)  -sin(γ-α) ]
    [ 1      0          0      ]

观察这个退化矩阵可以发现：矩阵中只出现了 γ - α 的差值组合，而 γ 和 α 各自单独的值不再独立出现。这意味着，无论 γ 和 α 分别取什么值，只要它们的差值相同，最终得到的旋转矩阵就完全相同。换句话说，在 β = 90° 时，滚转角和偏航角两个自由度合并成了一个自由度，系统丢失了一个旋转自由度，这就是万向死锁的数学本质，而非“两轴重合”。

从线性代数的角度看，旋转矩阵的秩从 3 降为 2，雅可比矩阵出现奇异，导致姿态解算时无法唯一反解出欧拉角。这也解释了为什么工程上常采用四元数或旋转矩阵来避免万向死锁——它们不存在这种参数奇异性。当然本文介绍的是ZYX特例，若为其他变换如ZXY等，那么绕X轴旋转的角度不应该为90（中间那个变量）。