说到无理数（不可比数），我们会自然想到无限不循环小数。小数可以无限，但循环的都能写成分数，而那些不能写成分数的，也不会循环。但是否循环并不重要，重要的是能不能写得完。这里写得完的意思是，这个分数可以是多层嵌套的，分数里面还有分数。我们知道就算这样的话，一个有限嵌套的分数，经过有限次通分，仍然可以写成一个分子分母各自都非常长的整数或者小数，但这都是能写得完的。那些哪怕通分也写不完的，只能是分数嵌套分数，无限层次的嵌套下去，而且通分之后还约不掉，当然写不完恐怕也就意味着约不掉，因为本质上分数上的每一位仍然带着它的层级标志，也就是虚数单位的周期度量中的位置。所以这种巨大的嵌套分数，若不能有效约分，那它基本上就是无理数的特征。当然约分的事要去做，才能知道，像是根号2这种能够一眼看出来的并不多。

回到我们讨论的圆周率和自然对数底，

实际上就是，

如果我们要判断两者的四则运算，我们就可以这样做了，

只考虑括号外面的 的结构，就知道这个数值必须是无理数了。同理，

也是无理数。由于涉及超越运算，结果的数量恐怕对不上，但是结果的结构在对应层级上都会得以保留。而结构决定这些数是有理数还是无理数，而结果展示出两种运算结果都是无理数。

虽然 和 本身都是写不尽的，但是它们的结构却给了我们充分的提示，

说明圆周率是当前一阶无穷大数量前提下的无限虚数单位，

那么这个数和当前一阶无穷大之间就有精确的对应关系，它的有限离散形式，就可以写成，

也就是说，任选一个数量n作为周期，它的最小虚数单位就是这个数值。比如 的  的 ，而这个数就是对应 的圆周率的实际值。而那个统一数值的 就是这些离散的实际值的抽象结果。

圆周率的意思由此体现出来：对于一个给定的任意数量 ，什么数量经过 次自乘，能够得到 本身，而当 始终不停止的自增的时候，这个数量就是圆周率 ，这个数值介于3和4之间，正如，

介于1和2之间，它是1和2之间无限次来回投射的结果。同理圆周率则是2和4之间无限次向内投射的结果（它的一半是1和2之间无限次向内投射的结果），就是这种自增方式的几何平均数。

几何平均数的所有倍数相乘再开方，

它的平方为，

平方是因为，

也就是周期必须平方之后才能成为单位。

将单位倒置，

因为圆周率也是虚数单位，

它同样符合，

所以，

这时候，

这就相当于将 当成周期的平方，也就是1，其中，

另一部分，

这相当于，将 视作虚数单位 ,两边乘以虚数单位的平方，

可见 就是虚数单位本身，

由于，

因为，

两者合并去掉带单位 ，得到，

这就是斯特林公式，

因为这里把 替换为 ，而 被替换的前提是它尽可能的大，所以这个公式对于越大的 就越准，当 ，如下方程精确成立，

⁡

和斯特林公式不同的在于，指数是 而不是 。

正如我们在推导过程中所作的，我们一直都在有限形式和无限形式两者之间转换，这对于有限域中大数的运算具有决定性的意义，比如计算巨大的阶乘，若在有限域中，我们可以通过分解 和 来获得可能的约分方法。

总结一下，可以简单认为，

意味着圆周率 是-1的倒数，而这也等价于无限减去1开无限减去1次方根。自然对数底 是虚数单位的倒数，这也意味着无限开平方的倒数。从这个角度上看，

是作为无限的周期的-1的倒数， 是作为虚数单位的半周期的倒数。而倒数就是单位，所以这些数值，就是这些无限单位的实际数值。

有了这些认识，让我们回来再看黎曼泽塔函数，

看 的情况，

代入，

得到，

而自然数全加和，

可见， 和 具有相同的单位 ，而且关于这个单位互为倒数，

这两个自变量对应的函数的结果关于某个对称轴对称，而这个对称轴的横坐标为，

这和黎曼猜想中的对称轴是完全对应的。只观察，

根据提升原则，

可知这条对称轴，指的就是虚数单位的平方根。这意味着，我们要把整个 周期分成8个部分，每个部分之间转过的角度为 也就是45°，这样划分的话泽塔函数的结果就有可能在某些位置上对齐，或者说出现零点。

回到等腰直角三角形，我们说斜边和一条直角边的比例为 的时候，斜边实际上是不存在的，或者说它的长度为0，而这个0指的是周期或者其整数倍。同理泽塔函数的零点也是对齐在周期上的。若非零点，则意味着和当前周期具有某种相位差。

零点有什么用呢？等腰直角三角形的两条直角边的长度是给定的，斜边的长度就定了。但是斜边的长度实际上是0，或者说周期的任意倍数。那么不同的直角边都对应于这样一种斜边，换句话说，可以选择一组直角边，然后获得零点，从零点钻进去，就可以获得其它不同的直角边，而新的直角边完全可能比用于钻进零点的直角边更长。

这句话不容易理解，但是如果放在物理中，就容易理解了。我们用光速和非光速之间之间的比例关系描述惯性系的速度，光速是最大值，就像斜边，如果我们把两条直角边的长度设为一致，也就是光速的二分之根号二，那么我们得到的就是以光速为周期的零点。换句话说，在这个速度上，我们可以用光速的若干倍速度实现高速运动。因为对应于这个零点的，可以是任何更高的速度，反过来再对应于更高的光速。也就是说，我们可以从这个零点钻出去，到这个世界的光速无法限制的世界之外去。

再用欧拉恒等式看一遍，已知，

这说明一个周期被分为6份，其中5份为实际存在的，1份为周期之间的间隔，或者反过来也一样，一份是存在的，另外5份为周期之间的间隔。考虑，

可见在这个系统中，对称群体的单位数值确实就是按照6份划分的，而这里的数量5说明存在的部分是5份，间隔的是1份。这是因为前两个质数分别是2和3，二者各自构成了一个维度，二维系统的最基本的两个维度的数值就是质数2和3，于是两个维数的单位的最小公倍数就是6，就是可以同时满足两个维数需要的最小单位。而其它质数造成的影响微乎其微，在千分之七和八之间。

再看作为符号的三者之间的关系，

所以实际上欧拉恒等式要表达的是，

而这就是说，

而这就是虚数单位 实现幂次提升的双重应用，而它最原始的形式，就是，

这就是幂次提升法则：某层次虚数单位（ ）的倍数，可以替换为同层次虚数单位的幂次，或两者不可区分。

再看虚数单位本身，

代入，

得到，

也就是说，虚数单位相当于以0为周期以周期为斜边的等腰直角三角形的直角边长。在把虚数单位的数值代回去，

这里的0表示周期或者周期的平方。在这种情况下，周期0和它的平方的数值分别为，

周期对应的单位分别为，

对应的单位比 对应的单位还小，说明同样周期前提下， 的精度更高。另外这里的 的意义也得以展现：它是任意周期（表现为0）按照几何平均数进行增长的基本单位。按照采样定理，只需要这个单位的数量的一半，也就是 ，就可以按照指数增长方式进行对任意周期的精细度量。

再继续使用，

计算，

这说明在一维线性周期中（注意不是二维），单一周期分成5份，其中4份是实际存在的，1份是间隔，间隔占比为 的递归形式，而它的有效数值为0。