计算两组欧拉角之间得角偏差-小角度近似和矩阵乘法

闪闪发亮的小星星

109人浏览 · 2026-09-14 11:10:40

闪闪发亮的小星星 · 2026-09-14 11:10:40 发布

为了计算这两组欧拉角之间的角偏差（三维空间旋转夹角），我们需要先将欧拉角转换为旋转矩阵（假设采用航空/航天最常用的 Z-Y-X (即 Yaw-Pitch-Roll, 3-2-1) 旋转顺序），然后求出相对旋转矩阵的转角。

一、数据预处理（统一单位）

输入数据格式为三维角度 $(ϕx,θy,ψz)(\phi_x, \theta_y, \psi_z)$ ，原始单位为 $μrad\mu\text{rad}$ ，转换为 $rad\text{rad}$ （乘以 $10^{-6}$ ）：

第一组欧拉角 $E1\mathbf{E}_1$ ：

$rad\phi_1 = -19047\ \mu\text{rad} = -0.019047\text{ rad}$

$rad\theta_1 = 1670\ \mu\text{rad} = 0.001670\text{ rad}$

$rad\psi_1 = -9657\ \mu\text{rad} = -0.009657\text{ rad}$

第二组欧拉角 $E2\mathbf{E}_2$ ：

$rad\phi_2 = -12508\ \mu\text{rad} = -0.012508\text{ rad}$

$rad\theta_2 = 233\ \mu\text{rad} = 0.000233\text{ rad}$

$rad\psi_2 = -2558\ \mu\text{rad} = -0.002558\text{ rad}$

二、计算过程

1. 欧拉角差值计算（小角近似）

由于两组欧拉角的角度都非常小（最大约 $mrad19\text{ mrad}$ ，小于 $1.1∘1.1^\circ$ ），在小角近似（ $cos⁡x≈1,sin⁡x≈x\cos x \approx 1, \sin x \approx x$ ）下，三个轴向的角度差为：

$mrad\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -12508 - (-19047) = +6539\ \mu\text{rad} = 6.539\text{ mrad}$

$mrad\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 233 - 1670 = -1437\ \mu\text{rad} = -1.437\text{ mrad}$

$mrad\Delta \psi = \psi_2 - \psi_1 = -2558 - (-9657) = +7099\ \mu\text{rad} = 7.099\text{ mrad}$

2. 三维等效空间夹角（矢量模长）

在小角条件下，两组姿态之间的等效空间三维旋转夹角 $Φ\Phi$ 等于各轴角度差值的欧几里得范数：

$Φ≈(Δϕ)2+(Δθ)2+(Δψ)2\Phi \approx \sqrt{(\Delta \phi)^2 + (\Delta \theta)^2 + (\Delta \psi)^2}$

$mrad\Phi \approx \sqrt{(6.539)^2 + (-1.437)^2 + (7.099)^2}\text{ mrad}$

$mrad\Phi \approx \sqrt{42.7585 + 2.0650 + 50.3958} = \sqrt{95.2193} \approx \mathbf{9.758\text{ mrad}}$

(注：如果采用严格的矩阵乘法 $R_{rel} = R_1^T R_2$ 并通过 $trace(Rrel)=1+2cos⁡Φ\text{trace}(R_{rel}) = 1 + 2\cos\Phi$ 计算，由于角度非常小，严格解与小角近似解的高阶项差异在 $mrad10^{-6}\text{ mrad}$ 数量级，可忽略不计。)