【声明】本博客所有内容均为个人业余时间创作，所述技术案例均来自公开开源项目（如Github，Apache基金会），不涉及任何企业机密或未公开技术，如有侵权请联系删除

标题

15、【数学】【基础】欧拉公式是怎么来的：从级数、微分方程到旋转

背景

这条公式第一次出现，是在
【数学】【基础】复数是什么：从解方程到旋转
里。当时它被直接摆了出来：
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
并用它把复数写成 $r{e}^{i\theta }$、把乘法解释成"模相乘、角相加"。之后
【数学】【基础】自然常数 e：为什么是 2.718…
在讲 $e$ 时也留了一句"复数域里还有著名的欧拉公式 $e^{i\pi }+1=0$，留到以后单独展开"。

问题在于：一个实数的指数，凭什么等于"余弦加正弦"？ 本篇把这条欠账补上，并且给出三条都能走通的推导——级数、微分方程、极限。它们算的是同一个东西，但各自揭示了公式的一面。

---

第一步：先把 $e^{i\theta }$ 定义清楚

要说"推导"，得先回答一个更基础的问题：$e^{i\theta }$ 到底是什么意思？

实数里的 $e^x$ 有一堆直观解释——复利、连乘——但它们都依赖"乘很多次"。而 $i\theta$ 是个虚数，没法"把 $e$ 连乘 $i\theta$ 次"。所以必须换一种定义：用第 11 篇给过的级数，把 $e$ 从实数推广到复数：

$$e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots$$

这个级数对任意复数 $z$ 都收敛，所以它能拿来做定义——把 $z=i\theta$ 代进去，$e^{i\theta }$ 就有了确切含义。

这一点很关键：欧拉公式不是"两个恰好相等的量"，而是"用级数定义 $e^{i\theta }$ 之后，算出来必然等于 $\cos \theta +i\sin \theta$"。所以下面的推导，本质上是在"展开一个定义"。

---

推导一：级数展开（主线）

把 $z=i\theta$ 代入级数：

$$e^{i\theta }=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(i\theta {)}^k}{k!}=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\cdots$$

关键在 $i$ 的幂——它每乘一次 $i$ 就"逆时针转 $90^{\circ }$"，四个一循环：

$$i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\dots$$

图 1 就是这个循环。把级数里偶次项和奇次项分开：偶次项的 $i^{2m}=(-1{)}^m$ 全是实数，奇次项的 $i^{2m+1}=i(-1{)}^m$ 全是纯虚数：

$$e^{i\theta }=\underset{\text{偶次项：实部}}{\underbrace{\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)}}+i\underset{\text{奇次项：虚部}}{\underbrace{\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots \right)}}$$

而这两坨括号，正是 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$ 的泰勒级数：

$$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots ,\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots$$

图 2 显示：项数越多，这两串部分和越贴近真正的 $\cos$ 与 $\sin$。于是直接得到

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

所以它不是巧合——$i$ 的幂在奇偶位上恰好给出 $\cos /\sin$ 级数该有的正负交替，是这条公式的真正来源。

---

顺带得到：模恒为 1

由这个结果还能立刻看出一个漂亮的事实：$e^{i\theta }$ 永远落在单位圆上。

用级数的乘法性质（把 $e^a{e}^b=e^{a+b}$ 推广到复数）或是共轭，都有

$${\left|e^{i\theta }\right|}^2=e^{i\theta }\cdot e^{-i\theta }=e^0=1$$

（等价地，${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$。）所以 $|e^{i\theta }|=1$：

图 3 里，$\theta$ 取 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ 时分别落在 $1,i,-1,-i$，始终在单位圆上。模为 1，意味着"乘 $e^{i\theta }$"只旋转、不缩放——这正是第 7 篇"乘单位复数 = 纯旋转"的根据。

---

推导二：微分方程（唯一性）

换一条完全不同的路。令

$$f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$$

对它求导，用 $(\cos \theta {)}^{\prime }=-\sin \theta$、$(\sin \theta {)}^{\prime }=\cos \theta$：

$$f^{\prime }(\theta )=-\sin \theta +i\cos \theta =i(\cos \theta +i\sin \theta )=if(\theta )$$

同时 $f(0)=\cos 0+i\sin 0=1$。也就是说，$f$ 满足

$$f^{\prime }=if,f(0)=1$$

而 $e^{i\theta }$（由级数定义）同样满足它——因为 $(e^{i\theta }{)}^{\prime }=i{e}^{i\theta }$、且 $e^0=1$。一阶线性微分方程在给定初值下解唯一（若有两个解，其差 $h$ 满足 $h^{\prime }=ih,h(0)=0$，只能恒为 $0$），所以二者只能是同一个函数：

$$e^{i\theta }=f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$$

图 4 给的是几何画面：位置 $f$ 沿单位圆跑，速度 $f^{\prime }$ 恰好是位置逆时针转 $90^{\circ }$，所以运动是匀速圆周——“速度与自身垂直、长度不变”，这就是 $f^{\prime }=if$ 的含义。

这条推导还接上了第 11、12 篇的一句话：$e^x$ 是求导的本征函数（求导后还是自己）。在复数域，这句话就变成了 $e^{i\theta }$ 正是"速度等于位置乘 $i$"的那个函数。

---

推导三：极限与几何（直觉）

最后给一条最"看得见"的路。把复利极限里的 $1+\frac{1}{n}$ 换成复数：

$$e^{i\theta }=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{i\theta }{n}\right)}^n$$

对每个因子做一阶近似，$1+\frac{i\theta }{n}$ 就是"在单位圆上转一小角 $\frac{\theta }{n}$、再缩一丁点"的数。把它连乘 $n$ 次，相当于把 $n$ 个小角首尾相接：总转角累加成 $\theta$，而那一丁点缩放被 $n$ 次连乘后趋近于 $1$：

图 5 里，$n=1,2,4,8,\dots$ 的点一步步逼近单位圆上角度为 $\theta$ 的位置。这解释了一个直觉问题：为什么指数会等于"转圈"？因为在极限下，“以极小步长连续地乘"就是在圆上走弧——旋转本来就是一种"连续的乘法”。

---

特例与美感

三个推导给出同一个式子，现在代几个特殊角看看。取 $\theta =\pi$：

$$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$$

移项就是著名的欧拉恒等式：

$$e^{i\pi }+1=0$$

把 $e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$ 五个来自不同领域的常数串成一行。另一个自然的结论是周期性：$\cos$、$\sin$ 都以 $2\pi$ 为周期，所以 $e^{i\theta }$ 也以 $2\pi$ 为周期，$e^{i\theta }=e^{i(\theta +2\pi )}$——这与第 9 篇的角频率 $\theta =\omega t$ 是同一件事。

---

回到 RoPE 与复数乘法

第 6、8 篇里，RoPE 给 $q$、$k$ 乘 $e^{i\theta }$、并把 $64$ 维拆成 $32$ 对做二维旋转。现在这条公式有了来处，那一步就不再是"凭空的技巧"：乘 $e^{i\theta }$ 之所以是旋转，是因为它模为 1、幅角为 $\theta$；而两个旋转向量做点积时角度相减，绝对位置被消掉、只剩相对距离——这也正是第 6 篇那条"点积只依赖 $n-m$"的根据。

---

小结

欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 的推导，可以有三种讲法，它们殊途同归：

• 级数法：把 $e^{i\theta }$ 按级数展开，$i$ 的幂四个一循环，偶次项凑成 $\cos \theta$、奇次项凑成 $\sin \theta$；
• 微分方程法：$\cos \theta +i\sin \theta$ 与 $e^{i\theta }$ 都满足 $f^{\prime }=if,f(0)=1$，而一阶线性方程初值问题解唯一，故二者相等；
• 极限法：$e^{i\theta }=\lim (1+\frac{i\theta }{n}{)}^n$，$n$ 个小旋转首尾相接，累加成转角 $\theta$。

三者共同说明：它不是巧合，而是"用级数定义复指数"之后的必然结果。由它还能立刻得到 $|e^{i\theta }|=1$（所以是纯旋转）、欧拉恒等式 $e^{i\pi }+1=0$，以及 RoPE 里"乘 $e^{i\theta }$ 就是旋转"的全部根据。

---

OK，本篇先到这里，如有疑问，欢迎评论区留言讨论，祝各位功力大涨，技术更上一层楼！！！
【数学】【基础】无穷级数是什么：从“无限相加“到收敛