前言

Beta 函数 ($B(x,y)$) 和 Gamma 函数 ($\Gamma (z)$) 是特殊函数领域中最为基础且联系紧密的两个函数。它们在物理、工程以及量子信息科学等领域有广泛应用。

一、Gamma函数的定义

Gamma 函数阶乘函数的推广，也是连接离散与连续数学的桥梁。普通阶乘 $n!$ 只对整数有定义，但Gamma函数可以定义在几乎所有复数上，这让我们能：

1. 把离散的阶乘运算扩展到连续变量（比如积分里的非整数次幂）
2. 处理组合数、Beta函数、泊松分布等大量数学工具

Gamma函数 $\Gamma (z)$ 的标准定义是欧拉积分形式：
$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,\text{Re}(z)>0$$
其中 $z$ 是复数变量，只要它的实部大于0，这个积分就收敛。

二、Gamma函数与阶乘的关系

对于非负整数 $n$，Gamma函数和阶乘直接对应：
$$\Gamma (n+1)=n!$$

证明：

我们先来回顾一下分部积分公式，详情查看【分部积分法的详细解释、推导过程及应用示例】：

$${\int }_a^{b}udv={uv|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

令 $ u = t^{z} $，$ dv = e^{-t}dt $ 则：

$$du=\frac{d}{dt}{t}^{z}dt=z{t}^{z-1}dt$$
$$v=\int e^{-t}dt=-e^{-t}$$

那么
$$\begin{array}{rl}\Gamma (z+1)& ={\int }_0^{\infty }{t}^z{e}^{-t}dt\\ & ={uv|}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }vdu\\ & ={t^z\cdot (-e^{-t})|}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }(-e^{-t})\cdot z{t}^{z-1}dt\\ & =-{t^z{e}^{-t}|}_0^{\infty }+z{\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt\\ & =0+z{\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt\\ & =z\Gamma (z)\end{array}$$

$t^z$ 是幂函数，增长较慢；$e^t$ 是指数函数，爆炸增长。$e^t$影响较大所以边界项为 0。

我们得到：
$$\boxed{\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$$

接下来验证整数阶乘的特例

对于非负整数 n，我们用递推关系可以验证阶乘：

• 基础值：$\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}dt=1=0!$

• $\Gamma (2)=1\cdot \Gamma (1)=1=1!$

• $\Gamma (3)=2\cdot \Gamma (2)=2\cdot 1=2!$

• $\Gamma (4)=3\cdot \Gamma (3)=3\cdot 2\cdot 1=3!$

以此类推，可得：$\Gamma (n+1)=n!$

三、Beta函数的定义

Beta 函数定义为：
$$\mathrm{B}(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}\mathrm{d}x,\mathrm{Re}(a)>0,\mathrm{Re}(b)>0$$

• 定义域：(a,b>0)（实数）或复平面右半部分。
• 别称：第一类欧拉积分；与Gamma函数（第二类欧拉积分）紧密关联。

四、Beta函数与Gamma函数的关系

$$B(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dt=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}=\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}$$
当 $a=n+1,b=m+1$ 时：
$$B(n+1,m+1)={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dt=\frac{\Gamma (n+1)\Gamma (m+1)}{\Gamma (n+m+2)}=\frac{n!m!}{(n+m+1)!}$$

证明

1. 从 Gamma 函数乘积出发

$$\Gamma (p)\Gamma (q)=\left({\int }_0^{+\infty }{x}^{p-1}{e}^{-x}dx\right)\left({\int }_0^{+\infty }{y}^{q-1}{e}^{-y}dy\right)={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{x}^{p-1}{y}^{q-1}{e}^{-(x+y)}dxdy$$

这是一个二重积分，我们需要引入雅克比行列式。

2. 变量代换

令
$$\{\begin{array}{l}x=uv\\ y=(1-u)v\end{array}(0<u<1,v>0)$$

计算雅克比行列式：

$$|J|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ -v& 1-u\end{array}\right|=v(1-u)-u(-v)=v$$

因此面积微元为：

$$dxdy=|J|dvdu=vdvdu$$

3. 代入被积函数并化简

$$\begin{array}{rl}\Gamma (p)\Gamma (q)& ={\int }_0^1{\int }_0^{+\infty }(uv{)}^{p-1}{\left[(1-u)v\right]}^{q-1}{e}^{-v}\cdot vdvdu\\ & ={\int }_0^1{u}^{p-1}(1-u{)}^{q-1}du\cdot {\int }_0^{+\infty }{v}^{p+q-1}{e}^{-v}dv\end{array}$$

4. 匹配 Beta 与 Gamma 定义

$${\int }_0^1{u}^{p-1}(1-u{)}^{q-1}du=\mathrm{B}(p,q)$$
$${\int }_0^{+\infty }{v}^{p+q-1}{e}^{-v}dv=\Gamma (p+q)$$

因此：
$$\Gamma (p)\Gamma (q)=\mathrm{B}(p,q)\Gamma (p+q)$$

移项即得核心结论：
$$\begin{gathered} \mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)} \\ \mathrm{B}(n+1,m+1)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}=\frac{n!m!}{(n+m+1)!} \end{gathered}$$