1.自然常数e

1.1定义

发现：有1块钱，年利率100%，则存1年本息是2块钱。可以按半年存，则半年利率是50%，1块钱存半年是$1\times (1+0.5)=1.5$，连本带利1.5再存半年$1.5\times (1+0.5)=2.25$，这是半年一个周期，那么我们把这个时间周期1年划分为无限多个无限小的周期，则每个无限小的周期利率是$\frac{1}{n}$，则本息和是多少呢：

$$\boxed{e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}$$

它还有一个常用的变形,令$t=\frac{1}{n}$：
$$\boxed{e=\underset{t\to 0}{\lim }{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$$

其中第1个1是本金，$n$上面那个1是全周期的利率，比如存1年就是年率，存10年就是10年利率。这个全周期划分为$n$个小周期。

最终的本息和这个$e=2.71828$块钱。

现在扩展到任意利息$r$，令$k=\frac{n}{r}$，也就是$n=kr$，当$n\to \infty$时，也有：$k\to \infty$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n=\underset{k\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^{kr}={\left[\underset{k\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k\right]}^r=e^r$$

也即：
$$\boxed{e^r=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n}$$

1.2求导

$e^x$的导数还是它自身，这使得它在很多领域都有重要应用。
$$\boxed{(e^x{)}^{\prime }=e^x}$$

推导过程
我们先从$a^x$的导数来看。我们这样计算：
$$(a^x{)}^{\prime }=\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx}=a^x\left(\frac{a^{dx}-1}{dx}\right)$$

现在我们假如希望右侧的：$\left(\frac{a^{dx}-1}{dx}\right)=1$，则$(a^x{)}^{\prime }=a^x$，我们来看看当$\left(\frac{a^{dx}-1}{dx}\right)=1$时，此刻$a=？$

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

令：$\frac{1}{n}=dt$，也有：$\frac{1}{dt}=n$，则带入上式有：
$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{\frac{1}{dt}\to \infty }{\lim }(1+dt{)}^{\frac{1}{dt}}=\underset{dt\to 0}{\lim }(1+dt{)}^{\frac{1}{dt}}$$

左右两边同时取$dt$次方则：
$$e^{dt}=\underset{dt\to 0}{\lim }(1+dt)⟹e^{dt}-1\approx dt⟹\frac{e^{dt}-1}{dt}\approx 1$$
也即：
$$\underset{dt\to 0}{\lim }\frac{e^{dt}-1}{dt}=1$$
与我们要求的：
$$\left(\frac{a^{dx}-1}{dx}\right)=1$$

形式一致，所以当$a=e$时，它的导数是自己。

2.虚数i

2.1定义

在实数之外扩充了虚数，定义是：
$$i^2=-1$$
根据它的定义出来以下延伸思考：

• $i=\sqrt{-1}$
• 定义实轴和虚轴，实轴上一个数$\ast i$就到了虚轴上，比如5在实轴，$5i$在虚轴，旋转了$\pi /2$，再乘以$i$就是$-5$，又旋转了$\pi /2$，也就是每乘$i$就代表逆时针旋转$\pi /2$也就是$90^{\circ }$。

2.2复数

$z=a+bi$叫复数，其$a$叫实部$Re$，是实数，$bi$是虚部$Im$，是实数和$i$组合而成。复平面也是个直角坐标系，因此其上也有各种定义方式和运算方法。

模
模是从原点出发到复平面这点的距离$=\sqrt{a^2+b^2}$

辐角
与实轴正方向的夹角。

极坐标
$r\angle \theta$就是使用极坐标代表复数，$z=r(cos\theta +isin\theta )$

指数形式
由极坐标形式结合欧拉方程可以变为指数形式
$z=r(cos\theta +isin\theta )=r{e}^{i\theta }$

共轭
$z=a-bi$与$z=a+bi$互为共轭，记为$\bar{z}$

• 共轭是辐角取反。
• 共轭的和差乘商都等于和差乘商的共轭，拿加法i举例说：$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
• 复数乘以自己的共轭结果等于模长的平方$z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$
• 复指数$r{e}^{i\theta }$的共轭是$r{e}^{-i\theta }$

复数乘法
设：
$$\{\begin{array}{l}{z}_1=r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)\\ z_2=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)\end{array}$$

对其相乘再用三角函数公式可以得到：
$$z_1{z}_2=r_1{r}_2[cos({\theta }_1+{\theta }_2)+isin({\theta }_1+{\theta }_2))]$$

也就是复数相乘是模长相乘，辐角相加。

模长相乘，辐角相加用指数形式更清晰：
$$z_1{z}_2=r_1{e}^{i{\theta }_1}{r}_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

除法就是模长相除，辐角相减
$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$$

3.欧拉方程

3.1定义

$$\boxed{e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta }$$

• 在复平面上，右侧复数$r=1$，辐角是$\theta$

当$\theta =\pi$时可以计算：
$$\boxed{e^{i\pi }=-1}$$

3.2推导

1).泰勒展开推导

$$\{\begin{array}{l}{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \end{array}$$

把$x=i\theta$代入到上面3个式子当中就可以轻易得到：
$$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$$

2).微分方程叭一性法推导

1、定义函数$f(\theta )=e^{i\theta }$，定义函数$g(\theta )=cos\theta +isin\theta$
2、检查起点：$f(0)=1,g(0)=1+0=1$，也即起点相同。
3、检查导数，也就是变化率：

$f^{\prime }(\theta )=i{e}^{i\theta }=if(\theta )$
$g^{\prime }(\theta )=-sin\theta +icos\theta$

发现$ig(\theta )=-sin\theta +icos\theta =g^{\prime }(\theta )$

也即他们都满足同一个一阶线性微分方程$y^{\prime }=iy$，且微分方程的解存在唯一性定理，两者必然处处相等。

3).极限定义加几何旋转法

先看$e$的定义：
$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

再写出$e^{i\theta }$定义
$$e^{i\theta }=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{i\theta }{n}\right)}^n$$

考察括号里的微小复数：$1+\frac{i\theta }{n}$:

• 模长：$|1+\frac{i\theta }{n}|=\sqrt{1+\frac{{\theta }^2}{n^2}}$
• 辐角：${\varphi }_n=arctan(\frac{\theta }{n})$

复数相乘是模长相乘，辐角相加，则这个微小复数计算$n$次方的结果是：

• 总模长：${\left(\sqrt{1+\frac{{\theta }^2}{n^2}}\right)}^n={\left(1+\frac{{\theta }^2}{n^2}\right)}^{n/2}$，当$n\to \infty$时，这个值$=1$
• 总的辐角变成了$n\times {\varphi }_n\approx n\times \frac{\theta }{n}=\theta$

每乘以1个$(1+\frac{i\theta }{n})$就相当于进行了一次模长相乘，辐角相加，模长都是1，辐角相加就相当于转了一点点。最终$n$次加一起转了$\theta$。

这是对$e^{i\theta }$表示旋转最直观的证明。

4).复速度场分析法（纯几何物理法）

核心逻辑：把$\theta$看作时间，追踪$e^{i\theta }$在复平面上的运动轨迹，证明它走的是单位圆，且线速度正好等于角速度。

第1步： 设$z(\theta )=e^{i\theta }$，则$\overline{z}=e^{-i\theta }$。先证明它永远在圆上。

• 计算模长平方对$\theta$的导数，说明模对于$\theta$永远不变。
  $$\frac{d}{d\theta }|z{|}^2=\frac{d}{d\theta }(z\overline{z})=z^{\prime }\overline{z}+z{\overline{z}}^{\prime }=(iz)\overline{z}+z(-i\overline{z})=0$$
• 既然模长的平方恒为常数，且$z(0)=1$，则$|z|\equiv 1$，所以它的轨迹必定在单位圆上。

第2步： 再证明它以什么速度转圈

• 速度（导数）为$z^{\prime }(\theta )=iz(\theta )$。由于$|i|=1$且$|z|=1$，速度的大小（速率）恒为1。导数中将速度的大小和方向都编码在了其中。
• 因为速度的方向垂直于当前位置向量$z(\theta )$（乘以$i$就是旋转90度），所以这个运动就是纯粹的均速圆周运动。

最终：
速率是1、半径是1，根据弧长公式：$弧长=半径\times 角度$，经过时间$\theta$，转过的弧长为$\theta \times 1=\theta$，即：辐角恰为$\theta$

它在单位圆上以1弧度/秒，转了$\theta$秒，所以终点坐标就是$(cos\theta ,sin\theta )$。