题解：
一个数字只由8组成那么就可以写成
$$8\times \frac{10^x-1}{9}$$
目前我们有L

那么
$$L|8\times \frac{10^x-1}{9}$$

$$9L|8\times 10^x-1$$

令d=gcd(8,L);
$$\frac{9L}{d}|\frac{8}{d}\times 10^x-1$$
那么gcd(9L/d,8/d)=1,那么有
$$\frac{9L}{d}|10^x-1$$
这个式子写成同余的形式就是
$$10^x\equiv 1(mod\frac{9L}{d})$$
根据欧拉定理：

当a与n互质的时
$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$
那么我们有推论1：

当a 与n互质
$$a^b\equiv a^{bmod\varphi (n)}(modn)$$
引理：
若a与n互质，则满足
$$a^x\equiv 1mod(n)$$
的最小正整数x_0是phi(n)的约数

显然，如果10和9L/d不互质，那么一定不会余1，无解；互质的话我们枚举一遍phi(9L/d)的约数即可，然后快速幂进行验证

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N=1005;
int num=0;
int phi(int n){
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(n%i==0){
            ans=ans*(i-1)/i;
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans*(n-1)/n;
    return ans;
}
int qmul(int a,int b,int mod){
    return (__int128)a*b%mod;
}
int qpow(int a,int b,int mod){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1)ans=qmul(ans,a,mod);
        a=qmul(a,a,mod);
    }
    return ans;
}
void solve(){
    int l;
    while(cin>>l&&l!=0){
        cout<<"Case "<<++num<<": ";
        int d=gcd(l,8);
        if(gcd(9*l/d,10)!=1){
            cout<<0<<'\n';
            
        }else {
            vector<int>res;
            int nums=phi(9*l/d);
            for(int i=1;i<=sqrt(nums);i++){
                if(nums%i==0){
                    res.push_back(i);
                    if(nums/i!=i){
                        res.push_back(nums/i);
                    }
                }
            }
            int ans=0;
            sort(res.begin(),res.end());
            for(auto x:res){
                if(qpow(10,x,9*l/d)==1){
                    ans=x;
                    break;
                }
            }
            cout<<ans<<'\n';
        }
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t=1;
    // cin>>t;
    while(t--)solve();
    return 0;
}