在求解二阶常系数微分方程的时候，有时会苦于共轭复根的通解公式长得如此奇怪

为了简便记忆，于是有了如下思考：

我们都知道特征根是两个不同的实数根（也是最一般的情况）下的通解公式为：

y = A_1 e^{\lambda_1 x} + A_2 e^{\lambda_2 x}......（1）

其中A_1,A_2为任意常数

从代数角度来看，实数与虚数都是“数”。

所以如果将共轭复根 \alpha\pm\beta i 代入式（1）再用欧拉公式化简会发生什么？

y=A_1e^{(\alpha+\beta i)x}+A_2e^{(\alpha-\beta i)x}

y=A_1e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)+ A_2e^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x)

y=e^{\alpha x}[(A_1+A_2)\cos\beta x+(A_1-A_2)i\sin\beta x]

可以看到通解中含有复常数，按照这个公式得到的解空间是一个复数域上的解空间，包含复数解。

但是在高等数学中我们通常只求实数解就可以了

即：

\begin{cases} A_1+A_2\in R \\ \\ (A_1-A_2)i\in R & \end{cases}

要使上述式子成立，A1和A2必须满足共轭

不妨设：

\begin{cases} A_{1}=a+bi \\ A_{2}=a-bi & \end{cases}

代入A1和A2得

y=e^{\alpha x}(2a\cos\beta x-2b\sin\beta x)

由于a和b也是任意实常数

所以，不妨令

\begin{cases} C_{1}=2a \\ C_{2}=-2b & \end{cases}

y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x \right)

这样就通过对系数的变换，将原本复数域上的解空间映射到了实数域上，

从而得到复函数解集在实数域上的子集——实函数解集

简化了系数的个数以及形式，也简化了计算

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