一、回顾欧拉公式

1.1 欧拉公式

欧拉公式为：

它表示单位圆上的一个点。随着 θ 变大，这个复数就在平面上旋转。

例如：

如果取实部：

如果取虚部：

二、傅里叶变换就是频率探针

2.1 案例

假设我们的源信号是：

其含义是：

x(t) = 50Hz 正弦波 + 120Hz 正弦波

其中成分为：

• 50Hz 分量幅值 = 1
• 120Hz 分量幅值为 = 0.5

2.2 使用积分计算函数成分

2.2.1 频率探针

可以把傅里叶分析理解成：拿不同频率的波，一个个去和原信号对暗号。

2.2.1 50Hz 积分探针

首先用 50Hz 的波去测试，让它与原信号相乘 (相当于重合的面积相乘)，然后在一段时间内积分：

因为 x(t) 原本就有50Hz信号，所以平方永远不小于零，所以会不断累加，结果比较大。

2.2.2 120Hz 积分探针

同样的，我们对 120Hz 也求积分，求他们重合的面积：

2.2.3 计算结果

在下列案例中，引入了实部和虚部的概念。

这是因为我们的案例波形 t=0 时刻开始周期，所以实部统计不到为 0。

为了避免复杂，这里不举例 t=x 时刻开始周期的 f=(t) 函数了。

#include <stdio.h> // 标准输入输出函数
#include <math.h>  // sin、cos、sqrt 数学函数

#define PI 3.14159265358979323846
#define N 100000 // 数值积分分段数量
#define T 1.0    // 信号观察时间，单位：s

// 生成包含 50 Hz 和 120 Hz 的测试信号
double signal(double t)
{
    return sin(2.0 * PI * 50.0 * t) + 0.5 * sin(2.0 * PI * 120.0 * t);
}

// 计算信号在指定频率 f 下的傅里叶积分
void calculate_fourier(double f)
{
    double dt = T / N; // 每个积分小区间的时间宽度
    double real = 0.0; // 傅里叶变换的实部
    double imag = 0.0; // 傅里叶变换的虚部

    // 用矩形面积累加的方式近似计算连续积分
    for (int n = 0; n < N; n++)
    {
        double t = n * dt;               // 当前时刻
        double x = signal(t);            // 当前时刻的信号值
        double angle = 2.0 * PI * f * t; // 检测频率对应的相位角

        real += x * cos(angle) * dt; // 计算实部积分
        imag -= x * sin(angle) * dt; // 计算虚部积分
    }

    // 根据实部和虚部计算复数模长
    double magnitude = sqrt(real * real + imag * imag);

    // 将傅里叶积分模长还原为单边正弦波幅值
    double amplitude = 2.0 * magnitude / T;

    // 输出当前检测频率的计算结果
    printf("检测频率：%6.1f Hz\n", f);
    printf("实部 Re： % .6f\n", real);
    printf("虚部 Im： % .6f\n", imag);
    printf("模长：     %.6f\n", magnitude);
    printf("幅值：     %.6f\n\n", amplitude);
}

int main(void)
{
    // 分别检测 50 Hz、120 Hz 和 80 Hz
    calculate_fourier(50.0);
    calculate_fourier(120.0);
    calculate_fourier(80.0);

    return 0;
}

2.3 引入真正的傅里叶公式

其含义是原信号乘反向旋转频率，然后积分累加。

其中：

就是用来检测频率 f=x(t) 的反向旋转探针。

将 公式展开后得到：

积分后也就是：

将实部分虚部分离可得：

2.4 离散化的 C 代码

离散化代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 1000                    // 定义采样点数，也就是信号长度为 1000 个点
#define FS 1000.0                 // 定义采样频率，单位为 Hz，这里表示每秒采样 1000 次
#define PI 3.14159265358979323846 // 定义圆周率常量，用于角度计算

int main(void)
{                // 主函数函数体开始
    double x[N]; // 定义长度为 N 的数组，用来保存测试信号的采样值

    // 构造一个测试信号：由 50Hz 正弦波和 120Hz 正弦波叠加而成
    for (int n = 0; n < N; n++)
    {                           
        double t = n / FS;      // 根据采样点序号计算当前时间，单位为秒

        // 给第 n 个采样点赋值生成 50Hz、幅值为 1 的正弦信号叠加 120Hz、幅值为 0.5 的正弦信号
        x[n] = sin(2.0 * PI * 50.0 * t) + 0.5 * sin(2.0 * PI * 120.0 * t);
    } 
    // 对信号 x 进行离散傅里叶变换 DFT，计算频谱
    for (int k = 0; k < N / 2; k++) // 遍历频率下标，只计算前半部分频谱
    {                               // 外层 for 循环函数体开始
        double real = 0.0;          // 保存 DFT 结果的实部，初始值为 0
        double imag = 0.0;          // 保存 DFT 结果的虚部，初始值为 0

        for (int n = 0; n < N; n++)              // 遍历所有采样点，用于计算当前频率 k 的 DFT
        {                                        // 内层 for 循环函数体开始
            double angle = 2.0 * PI * k * n / N; // 计算 DFT 公式中的旋转角度

            real += x[n] * cos(angle); // 累加当前频率分量的实部
            imag -= x[n] * sin(angle); // 累加当前频率分量的虚部，负号来自 DFT 定义
        }

        // 根据实部和虚部计算当前频率分量的幅值
        double amplitude = 2.0 / N * sqrt(real * real + imag * imag); // 计算单边频谱幅值

        // 根据频率下标 k 计算对应的实际频率
        double freq = k * FS / N; // 当前频率点对应的频率，单位为 Hz

        // 只打印幅值比较明显的频率成分
        if (amplitude > 0.1)                                                // 如果当前频率分量的幅值大于 0.1，就认为它比较明显
        {                                                                   // if 语句函数体开始
            printf("freq = %7.2f Hz, amplitude = %.3f\n", freq, amplitude); // 输出频率和幅值
        }
    } 

    return 0;
} 

三、 漏水水桶案例

3.1 漏水水桶案例引入

假设我们有一个漏水的水桶，水量是：

假设规律是：

• x = 剩余水量

水量的导数是 -2x。

意味着，任意时刻，水量的瞬时减少速率 (每分钟流量)，等于当前水量的 2 倍。

假设当前桶中有 1L 水，在不考虑微分的情况，1 分钟后会流出 2L 水。

写成自然常数的形式就是：

• x0 = 初始水量

3.2 变量分离的微分形式计算

我们假设桶里目前水量为 5L，试求 1 分钟后的桶中水量。

已知水量变化的微分方程为：

把 xxx 和 ttt 分到两边：

按照初始 t=0，x=5 (5L 水) 计算 t = 1 (1 分钟)，两边做定积分：

所以：

3.3 自然指数 e 形式计算

四、赫维塞斯算子

4.1 得到算子

首先定义微分算子 (赫维塞斯算子)：

那么 px 的意思是：

所以在水桶案例中，可以将原来的导数形式：

写成：

提取可得：

最后得到：

4.2 使用算子

我们知道指数函数满足：

把我们的赫维塞斯算子代入：

因此水量函数一定具有下面的形式：

将我们的初始水量 5L 带入公式，得到：

4.3 总结

这个例子中，把微分直接转化成 p：

于是：

直接变成：

微分方程就像普通代数一样处理了。

五、拉普拉斯变换

5.1 拉普拉斯变换公式

• x(t) = 时间有关的函数
• t = 时间
•  = 瞬时变化速度
•  = 拉普拉斯变换符号
• s = 拉普拉斯域的自变量
•  = 拉普拉斯域的函数
•  = 时间的初始值

可以理解为：

导数的拉普拉斯变换 = s乘原函数的变换结果 − 初始值

5.2 使用拉普拉斯变换计算水桶案例

5.2.1 两侧拉普拉斯变换

水桶案例的原微分方程是：

两边同时进行拉普拉斯变换：

得到：

5.2.2 求 X(s)

提取 X(s)：

两侧相除得到水量在 s 域的表达式：

5.2.3 拉普拉斯反变换查表

现在我们需要把拉普拉斯域反变换，目前已有公式：

我们直接将 X(s) 根据公式转换得到：

我们的初始水量是 5L 时间是 1 分钟，代入得到：

5.3 拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系

5.3.1 两个公式

傅里叶变换的公式是：

而拉普拉斯变换的公式多了一个 s：

5.3.2 s 的定义

•  = 频率旋转
•  = 指数增长/衰减

5.3.3 两者关系总结

拉普拉斯变换 = 傅里叶变换 + 指数衰减 / 增长因子

在傅里叶分析中，我们只能分析不衰减的波形：

拉普拉斯变换则可以分析增长信号和衰减信号：

这样就是衰减了：

拉普拉斯变换把探针升级了，也就是说，不仅可以分析波形的频率成分，还可以分析衰减状态。