回答计算过程需要给出代码级证据。
假设某时刻，多旋翼无人机的的实例和期望航向角均为0度（也即朝北），实际和期望横滚俯仰角均为0。自稳模式下的角度限制为60度，当遥控器的横滚俯仰摇杆向右前方打满时，问：
1、apm px4分别生成的期望欧拉角是？
2、机体z轴与大地z的夹角是多少？
3、机体x轴(机头)在大地的投影与大地x轴(正北)的夹角是多少
4、机体的(-z轴)在地面的投影，与正北的夹角是多少？
注：坐标系定义按照(前右下FRD)(北东地NED)。

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按你给定的坐标系：

• 大地系 NED：(X_N)=北，(Y_E)=东，(Z_D)=地
• 机体系 FRD：(x_b)=前，(y_b)=右，(z_b)=下
• 初始实际/期望航向均为 (0^\circ)
• 初始 roll/pitch 都为 (0^\circ)
• 右前满杆
• 最大倾斜角设为 (60^\circ)
• 下面计算的是满杆指令稳定下来后的期望姿态；不讨论输入滤波、姿态目标轨迹整形造成的瞬态

我查的是当前 ArduPilot master 的 Copter STABILIZE 和 PX4 main 的 Multicopter Stabilized 控制链。

先给结论

项目	ArduPilot Copter STABILIZE	PX4 Multicopter Stabilized
期望 roll (\phi_d)	+37.761°	+50.768°
期望 pitch (\theta_d)	−50.768°	−37.761°
期望 Euler yaw (\psi_d)	0°	−18.435°
(z_b) 与大地 (Z_D) 夹角	60°	60°
(x_b) 地面投影与正北夹角	0°	18.435°，偏西
(-z_b) 地面投影与正北夹角	45°，偏东	45°，偏东

这里最值得注意的是：

APM 和 PX4 最终得到的 (-z_b) 推力方向完全一样，但机头方向不一样。

也就是说，它们都让无人机向“东北 45°”方向倾斜 (60^\circ)，但是它们选择的姿态分解方式不同。

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1. ArduPilot 的计算

ArduPilot 的 ModeStabilize::run() 直接调用：

get_pilot_desired_lean_angles_rad(
    target_roll_rad,
    target_pitch_rad,
    attitude_control->lean_angle_max_rad(),
    attitude_control->lean_angle_max_rad());

然后把得到的 roll/pitch 送入 Euler 姿态控制器：

attitude_control->
    input_euler_angle_roll_pitch_euler_rate_yaw_rad(
        target_roll_rad,
        target_pitch_rad,
        target_yaw_rate_rads);

源码就在 ArduCopter/mode_stabilize.cpp。(GitHub)

而 get_pilot_desired_lean_angles_rad() 实际调用：

rc_input_to_roll_pitch_rad(
    channel_roll->norm_input_dz(),
    channel_pitch->norm_input_dz(),
    angle_max_rad,
    angle_limit_rad,
    roll_out_rad,
    pitch_out_rad);

(GitHub)

真正关键的是 AP_Math/control.cpp 中的实现：

thrust.x = -tanf(angle_max_rad * pitch_in_norm);
thrust.y =  tanf(angle_max_rad * roll_in_norm);

thrust.limit_length(thrust_limit);

pitch_out_rad = -atanf(thrust.x);

roll_out_rad =
    atanf(cosf(pitch_out_rad) * thrust.y);

其中

thrust_limit = tanf(angle_limit_rad);

(GitHub)

这说明 ArduPilot 不是简单地做

$$\varphi =60^{\circ },\theta =-60^{\circ }$$

而是先构造一个二维“水平推力”向量，再限制这个向量的长度，最后反解 Euler 角。

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APM 的满杆符号

右打满：

$$u_r=+1$$

前打满：

$$u_p=-1$$

ArduPilot 自己的 NE 速度映射也能验证这个符号：

vel_ne_ms = Vector2f(-pitch_out_norm,
                      roll_out_norm);

航向为 0 时：

• -pitch > 0 → North
• roll > 0 → East

因此“右前”就是

$$(u_r,u_p)=(+1,-1)$$

(GitHub)

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第一步：构造 thrust XY

设：

$$A=60^{\circ }$$

则：

$$t_x=-\tan (A{u}_p)$$

其中：

• (t_x)：ArduPilot 构造的水平推力向量第一分量
• (A)：最大倾斜角
• (u_p)：归一化 pitch 摇杆输入

代入 (u_p=-1)：

$$t_x=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$$

另一轴：

$$t_y=\tan (A{u}_r)$$

其中：

• (t_y)：水平推力向量第二分量
• (u_r)：归一化 roll 摇杆输入

所以：

$$t_y=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$$

原始长度：

$$
\sqrt{t_x^2+t_y2}

\sqrt6
$$

但代码限制：

$$\Vert \mathbf{t}\Vert \le \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$$

因此整体缩放：

$$
t_x=t_y

\frac{\sqrt3}{\sqrt2}

\sqrt{\frac32}

1.224745
$$

---

第二步：反算 pitch

源码：

pitch_out_rad = -atanf(thrust.x);

所以：

$$
\theta_d

-\arctan\sqrt{\frac32}
$$

其中：

• (\theta_d)：期望 pitch Euler 角

得到：

$$\boxed{{\theta }_d=-50.76848^{\circ }}$$

---

第三步：反算 roll

源码：

roll_out_rad =
    atanf(cosf(pitch_out_rad) * thrust.y);

所以：

$$
\phi_d

\arctan
\left(
\cos\theta_d\sqrt{\frac32}
\right)
$$

其中：

• (\phi_d)：期望 roll Euler 角

因为：

$$
\cos50.76848^\circ

\sqrt{\frac25}
$$

于是：

$$
\phi_d

\arctan\sqrt{\frac35}
$$

得到：

$$\boxed{{\varphi }_d=+37.76124^{\circ }}$$

yaw 摇杆为零，且初始 yaw target 为 (0^\circ)。ArduPilot 该接口把 yaw 作为 Euler yaw rate 输入；源码明确对 yaw-rate target 做整形，并在无 feed-forward shaping 情况下直接：

_euler_angle_target_rad.z +=
    euler_yaw_rate_rads * _dt_s;

因此 (r_{\psi,d}=0) 时稳态 yaw target 不变化。(GitHub)

所以：

$$
\boxed{
(\phi_d,\theta_d,\psi_d)_\text{APM}

(37.761^{\circ,-50.768}\circ,0^\circ)
}
$$

---

2. PX4 的计算

PX4 的做法明显不同。

当前 mc_att_control_main.cpp 里明确写着：

控制两个量：tilt angle 和 maximum tilt direction。

然后：

Vector2f v = Vector2f(
    _manual_control_setpoint.roll * _man_tilt_max,
   -_manual_control_setpoint.pitch * _man_tilt_max);

float v_norm = v.norm();

if (v_norm > _man_tilt_max) {
    v *= _man_tilt_max / v_norm;
}

Quatf q_sp_rp =
    AxisAnglef(v(0), v(1), 0.f);

(GitHub)

这和 APM 完全不是同一种参数化。

PX4 的 ManualControlSetpoint.msg 还明确规定：

roll  # move right, positive roll rotation
pitch # move forward, negative pitch rotation, nose down

所以右前满杆对应：

$$u_r=+1,u_p=+1$$

注意 PX4 的 pitch stick 输入为 +1 表示向前，但对应的是负 pitch 旋转。(GitHub)

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第一步：生成 axis-angle 向量

最大 tilt：

$$A=60^{\circ }$$

满杆：

$$
\mathbf v

\begin{bmatrix}
A\
-A
\end{bmatrix}
$$

长度：

$$
|\mathbf v|

\sqrt2A>A
$$

所以代码将它缩放到长度 (A)：

$$
\mathbf v

\begin{bmatrix}
A/\sqrt2\
-A/\sqrt2
\end{bmatrix}
$$

因此旋转轴为：

$$
\mathbf u

\begin{bmatrix}
1/\sqrt2\
-1/\sqrt2\
0
\end{bmatrix}
$$

旋转角：

$$\alpha =60^{\circ }$$

---

第二步：axis-angle → quaternion

对应 quaternion：

$$
q_{rp}

\begin{bmatrix}
\cos(\alpha/2)\
u_x\sin(\alpha/2)\
u_y\sin(\alpha/2)\
u_z\sin(\alpha/2)
\end{bmatrix}
$$

其中：

• (q_{rp})：roll/pitch tilt 对应的姿态四元数
• (\alpha)：总倾斜角
• (\mathbf u)：倾斜旋转轴

代入：

$$
q_{rp}

\begin{bmatrix}
0.8660254\
0.3535534\
-0.3535534\
0
\end{bmatrix}
$$

初始 yaw setpoint 为零，因此：

Quatf q_sp_yaw(cosf(yaw_setpoint / 2.f),
               0.f, 0.f,
               sinf(yaw_setpoint / 2.f));

Quatf q_sp = q_sp_yaw * q_sp_rp;

当 yaw setpoint = 0：

$$q_{sp}=q_{rp}$$

(GitHub)

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3. 为什么 PX4 最终 Euler yaw 不是 0？

这是最容易产生误解的地方。

PX4 源码自己专门提醒：

// The axis angle can change the yaw as well
// (noticeable at higher tilt angles).

甚至在紧接着的注释中直接给出了这个 induced-yaw 的公式。(GitHub)

也就是说：

yaw_setpoint = 0 并不意味着把最终 quaternion 转成 3-2-1 Euler 后得到的 (\psi) 必然还是 0。

PX4 的 Euler.hpp 明确采用 3-2-1 intrinsic Tait-Bryan，即通常所说的 yaw-pitch-roll / (Z-Y-X) Euler 定义，并通过 DCM 提取：

theta() = asin(-dcm(2,0));
phi()   = atan2(dcm(2,1), dcm(2,2));
psi()   = atan2(dcm(1,0), dcm(0,0));

(GitHub)

将上述 quaternion 转换后：

$$\boxed{{\varphi }_d=+50.76848^{\circ }}$$

$$\boxed{{\theta }_d=-37.76124^{\circ }}$$

$$\boxed{{\psi }_d=-18.43495^{\circ }}$$

所以：

$$
\boxed{
(\phi_d,\theta_d,\psi_d)_\text{PX4}

(50.768^{\circ,-37.761}\circ,-18.435^\circ)
}
$$

这里 (-18.435^\circ) 表示机头地面投影相对北偏西。

---

4. 机体 (z_b) 与大地 (Z_D) 的夹角

对 FRD/NED 的 3-2-1 Euler：

$$
C^n_b

R_z(\psi)R_y(\theta)R_x(\phi)
$$

其中：

• (C^n_b)：机体系向量变换到 NED 的方向余弦矩阵
• (\phi)：roll
• (\theta)：pitch
• (\psi)：yaw

机体 (z_b) 在 NED 中就是矩阵第三列。

其与大地 (Z_D) 的夹角 (\gamma) 满足：

$$
\cos\gamma

\cos\phi\cos\theta
$$

---

ArduPilot

$$
\cos\gamma

\cos37.761^\circ
\cos50.768^\circ
=0.5
$$

所以：

$$\boxed{{\gamma }_{\text{APM}}=60^{\circ }}$$

PX4

虽然 Euler 分量不同，但 PX4 是直接构造了一个 (60^\circ) 的 tilt axis-angle，所以当然：

$$\boxed{{\gamma }_{\text{PX4}}=60^{\circ }}$$

因此问题 2 的答案：

$$\boxed{\text{APM}=60^{\circ },PX4=60^{\circ }}$$

---

5. 机体 (x_b) 在地面的投影

对于 3-2-1 Euler，机体 (x_b) 在 NED 中：

$$
{}^n\mathbf x_b

\begin{bmatrix}
\cos\psi\cos\theta\
\sin\psi\cos\theta\
-\sin\theta
\end{bmatrix}
$$

其中：

• 第一项：North 分量
• 第二项：East 分量
• 第三项：Down 分量

地面投影只保留 NE：

$$
{}^{NE}\mathbf x_b

\begin{bmatrix}
\cos\psi\cos\theta\
\sin\psi\cos\theta
\end{bmatrix}
$$

因此，只要 (|\theta|<90^\circ)，它的地面方位角就是：

$${\chi }_{x_b}=\psi$$

---

ArduPilot

$$\psi =0^{\circ }$$

所以：

$$\boxed{{\chi }_{x_b}=0^{\circ }}$$

即：

机头地面投影仍然严格指北。

---

PX4

$$\psi =-18.43495^{\circ }$$

因此：

$$\boxed{{\chi }_{x_b}=-18.435^{\circ }}$$

如果方位角按 NED 常见定义：

• 北 = (0^\circ)
• 东 = (90^\circ)
• 顺时针为正

则它也可以写成：

$$\boxed{341.565^{\circ }}$$

也就是：

机头在地面的投影相对正北向西偏 18.435°。

所以问题 3：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{APM}& :0^{\circ }\\ \text{PX4}& :18.435^{\circ }\text{，向西}\end{array}}$$

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6. (-z_b) 在地面的投影

这其实是最重要的物理量，因为多旋翼总推力方向基本就是：

$$-{\mathbf{z}}_b$$

对于 ArduPilot 那组 Euler：

$$
(\phi,\theta,\psi)

(37.761^{\circ,-50.768}\circ,0^\circ)
$$

计算得到：

$$
{}^n(-\mathbf z_b)

\begin{bmatrix}
0.612372\
0.612372\
-0.5
\end{bmatrix}
$$

其中：

• North = (+0.612372)
• East = (+0.612372)
• Down = (-0.5)，即向上

所以地面投影：

$$
{}^{NE}(-\mathbf z_b)

\begin{bmatrix}
0.612372\
0.612372
\end{bmatrix}
$$

方位角：

$$
\beta

\operatorname{atan2}(E,N)

\operatorname{atan2}(0.612372,0.612372)
$$

所以：

$$\boxed{\beta =45^{\circ }}$$

即东北方向。

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PX4 的 quaternion 对应 DCM 为：

$$C_b^n=\left[\begin{array}{ccc}0.75& -0.25& -0.612372\\ -0.25& 0.75& -0.612372\\ 0.612372& 0.612372& 0.5\end{array}\right]$$

所以：

$$
{}^n(-\mathbf z_b)

\begin{bmatrix}
0.612372\
0.612372\
-0.5
\end{bmatrix}
$$

和 ArduPilot 完全相同。

因此：

$$
\boxed{
\beta_\text{APM}

\beta_\text{PX4}

45^\circ
}
$$

即：

两者的 (-z_b) 地面投影都严格指向东北 45°。

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最后把这个差异画成一句话

右前对角满杆、最大 tilt (60^\circ) 时：

ArduPilot

它倾向于保持：

$$\boxed{\psi =0^{\circ }}$$

然后寻找一组 Euler roll/pitch，使推力方向指向东北：

$$\boxed{\varphi =37.761^{\circ },\theta =-50.768^{\circ }}$$

所以：

机头仍指北，但机体向东北倾斜。

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PX4

它首先直接规定一个：

$$\boxed{\text{东北方向、总 tilt}=60^{\circ }}$$

的 axis-angle 旋转。

由这个 quaternion 再换算 Euler 后自然得到：

$$\boxed{\varphi =50.768^{\circ },\theta =-37.761^{\circ },\psi =-18.435^{\circ }}$$

所以：

推力仍指东北，但机头会相对北向西偏约 18.4°。

这不是 PX4 “错误地产生了 yaw 指令”，而是 axis-angle 定义的倾斜姿态用 3-2-1 Euler 表示时产生的 Euler-yaw 耦合；PX4 源码甚至专门对此作了注释。(GitHub)

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